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title: 'Le principe de Fermat F'
media_order: 'fermat_mir_elliptique_650.gif,Fermat_mir_1ray_max_650.gif,Fermat_mir_1ray_min_650.gif,stationnarite3_400.jpg,Fermat_mir_3ray_650.gif'
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#### Chemin optique

**chemin optique**   *$\delta$* &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;
**longueur euclidienne** *$s$* &nbsp;&nbsp;X&nbsp;&nbsp;&nbsp;**indice de réfraction** *$n$* 

* **$\Gamma$** :  *chemin* ( = ligne continue ) *entre 2 points fixes* A et B 
* **$\mathrm{d}s_P$** :  *élément de longueur infinitésimal* au point P sur le chemin $\Gamma$
* **$n_P$** :  *indice de réfraction* au point P
* **$\mathrm{d}\delta_P$** :  *chemin optique infinitésimal* au point P sur le chemin $\Gamma$

Chemin optique le long d'un chemin entre 2 points fixes A et B :

*$\delta\;=\;\int_{P \in \Gamma}\mathrm{d}\delta_P\;=\;\int_{P \in \Gamma}n_P\cdot\mathrm{d}s_P$*

* **$\delta$** $\;=\int_{\Gamma}n\cdot\mathrm{d}s\;=\;\int_{\Gamma}\frac{c}{v}\cdot\mathrm{d}s$ = $c\;\int_{\Gamma}\frac{\mathrm{d}s}{v}$ =  *$\;c\;\tau$* 
* **$\delta$** est  *proportionnel au temps de parcours* .


#### Stationnarité d'un chemin

* **$\Gamma_o$** :  *chemin entre 2 points fixes* A et B
* **$\lambda_i$ ** :  *paramètres définissant un chemin* 
* **${\Large\tau}$ ** :  *grandeur physique caractérisant un chemin* 
 
*${\Large\tau}(\Gamma_o)$ stationnaire &nbsp;&nbsp;
${\Longleftrightarrow}\:\:\:\:\:\mathrm{d}{\Large\tau}(\Gamma_o)=\sum_i\frac{\partial{\large\tau}}{\partial\lambda_i}(\Gamma_o)\;\mathrm{d}\lambda_i=0$*

![](stationnarite3_400.jpg)

#### Principe de Fermat

**Entre 2 points** de son parcours, un **rayon de lumière** suit **"le" ou "les chemins"** qui présentent un  *temps de parcours stationnaire* .

ou ( équivalent )

**Entre 2 points**  de son parcours, la **lumière**  suit **"le" ou "les chemins"**  qui présentent un  *chemin optique stationnaire* .

#### Exemples 

##### Miroir sphérique concave

* **A** : *source ponctuelle* émettant lumière dans toutes les directions.
* **B** : *point fixe de l'espace*.

Pour ce miroir, **selon les positions des points A et B** :

* **Plusieurs extrema** : ici *2 maxima* et *1 minimum* **$\Longrightarrow$ plusieurs rayons** issus de A passent par B : ici *3 rayons* :

<!--à finaliser si possible :
1) DIFFICILE : mise au point automatique : largeur 100% de l'écran et bonne hauteur 'difficile cela' de toute application geogebra.
2) TRES DIFFICILE : faire en sorte que en mode connexion, l'image animée correspondante au geogebra s'affiche tant que l'animation iframe geogebra n'est pas téléchargée, puis elle ne s'affiche pas lorsque le geogeba est prêt, et que ce soit elle qui s'affiche en mode "hors connexion".-->

<iframe width="auto" height="auto" sandbox="allow-same-origin allow-scripts" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/syegm6gp" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>

_smartphone : Passer en mode "paysage" pour voir les animations geoegbra_
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<!--image gif correspondante-->
![](Fermat_mir_3ray_650.gif)

!!!! *ATTENTION* :
!!!! Comprenez bien cette exemple d'application du théorème de Fermat. Il dit que *les 3 trajectoires tracées entre A et B vérifient le principe de Fermat* et donc *sont des trajectoires possibles entre ces deux points* à l'exclusion de toute autre trajectoire. Si le point A est une source ponctuelle qui émet de la lumière dans toutes les directions, alors ces 3 trajectoires seront parcourues par la lumière. Si un rayon passe par A avec l'une de ces 3 inclinaisons, alors la trajectoire correspondante sera réalisée.
!!!! *Mais* les points *A et B ne sont pas des points conjugués au sens de l'optique paraxiale* : A n'est pas l'image de B, et vice versa.
!!! Il en est de même pour toutes les animations de ce chapitre "exemples".

* autres positions de A et B : **1 minimum $\Longrightarrow$ 1 rayon unique** issu de A passe par B .

![](Fermat_mir_1ray_min_650.gif)

* autres positions de A et B : **1 maximum $\Longrightarrow$ 1 rayon unique** issu de A passe par B .

![](Fermat_mir_1ray_max_650.gif)

##### Miroir elliptique concave

* Miroir elliptique : miroir dont la surface s'inscrit dans un ellipsoïde de révolution.

! <details markdown=1>
! <summary>
! Ellipsoïde et ellipsoïde de révolution
! </summary>
! Est-il nécessaire de rapeller ici ce que sont les ellipsoïde et ellipsoïde de révolution? rappel en texte? ou 2 liens vers Wikipédia? ou lien vers une autre page m3p2 sur les quadriques en géométrie euclidienne (page encore à créer) ? Si oui, dans une partie Beyond, parler du miroir elliptique concave acoustique, c'est impressionnant quand on le vit.
! </details>

* **entre les deux "foyers géométriques"** F et F' d'un miroir elliptique, **tous les chemins interceptant le miroir sont stationnaires** : ils ont le même chemin optique<br>
**$\Longrightarrow$** : *tous les rayons issus de l'un des foyers géométriques et interceptant le miroir convergent vers le second foyer géométrique*.

![](fermat_mir_elliptique_650.gif)

!!!! *ATTENTION* : 
!!! les "foyers géométriques" de l'ellipsoïde de révolution, "surface géométrique" dans laquelle s'inscrit la surface du miroir elliptique, ne correspondent pas aux "foyers" du miroir elliptique tels qu'ils seront définis au "sens optique" du terme dans la suite de ce cours.









