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nouveau cours : principal

### Classification des lentilles

A simple lens is a volume made with a transparent substance of refractive index $n$, that present a symetry of revolution around an axis called the optical axis of the lens. This volume is bound by two polished surfaces that can be both curved, or one curved and the other plane. The curved surfaces which have to 

### Lentille épaisse : 2 dioptres sphériques centrés successifs.

! Dans la *cadre de m3p2, (UNAL-Manizales?, UdG?,) INSA-Toulouse*, les résultats de ce chapitre "Lentille épaisse" ne sont pas à mémoriser ni connaître. Par contre, *comprendre le raisonnement* est important.

##### Le système centré "lentille épaisse" 

Une **lentille épaisse** est un *système optique centré* formé de *deux dioptres sphériques séparant le verre constitutif de la lentille d'indice de réfraction $n$*. 

Nous allons mener l'**étude du cas général** où les *milieux de part et d'autres de la lentille sont différents*, et pour un sens de propagation de la lumière à travers la lentille.
!!! *EXEMPLE* :  la lentille peut être utilisé comme *hublot grossissant d'un bathyscaphe*, à travers lequel *un humain dans l'air observe un poisson dans l'eau*.
 
Le premier dioptre $DS_1$ traversé par la lumière a pour sommet $S_1$ et pour centre de courbure $C_1$, et sépare le milieu (_où se propage la lumière incidente_) d'indice de réfraction $n1$ du milieu situé entre les deux dioptres d'indice de réfraction $n$. Le deuxième dioptre $DS_2$ traversé par la lumière à la suite du premier sépare donc le milieu intermédiaire d'indice de réfraction $n$ du milieu final d'indice de réfraction $n_2$, et a pour sommet $S_2$ et pour centre de courbure $C_2$. L'espacement entre les deux dioptres est caractérisé par la distance  algébrique $\overline{S_1S_2}$. L'orientation de l'axe optique étant choisie positive selon le sens de propagation de la lumière, la distance algébrique $\overline{S_1S_2}$ est positive ($\overline{S_1S_2}>0$.

Le **système centré $SO$** que constitue la lentille épaisse dans son environnement (_ses deux milieux de part et d'autre_) et ses conditions d'utilisation (_le sens considéré de propagation de la lumière à travers la lentille_) est donc **caractérisé par** :
* l'*ordre de traversée* de ces deux dioptres par la lumière, de $DS_1$ vers $DS_2$.
*  les *trois indices de réfraction $n_1$, $n$ et $n_2$* caractérisant respectivement le milieu de propagation de la lumière incidente sur le premier dioptre du système, le milieu intermédiaire commun aux deux dioptres et le milieu de propagation de la lumière transmise par le système.
*  les *rayons algébriques $\overline{S_1C_1}$ et $\overline{S_2C_2}$* des deux dioptres sphériques $DS_1$ et $DS_2$.
*  la *distance $\overline{S_1S_2}$* qui spécifie l'espacement entre les deux dioptres. 

! *IMPORTANT* : si la *lentille* est *plan-convexe ou plan concave*, il suffira de reprendre les diverses expressions mathématiques trouvées et *faire tendre le rayon de courbure concerné (_faire attention au sens de propagation de la lumière_) vers l'infini* ($\overline{SC}\rightarrow\infty$). Nous retrouverions (_certes d'une façon bien compliquée_) les résultats pour une paroi transparente regardée sous incidence normale et dans les conditions de Gauss, en faisant tendre les rayons de deux dioptres vers l'infini ($\overline{S_1C_1}\rightarrow\infty$ et $\overline{S_2C_2}\rightarrow\infty$).

Dans le cadre de l'optique paraxiale (_optique Gaussienne_), ce système optique est quasi-stigmatique et il donne les rayons de lumière issus du point objet $B$ un point image unique $B'$. La **position du point objet $B$ par rapport au système optique** est *déterminée par* :
* la *distance algébrique* **$\overline{AS_1}$** entre la projection $A$ du point objet $B$ sur l'axe optique et le sommet $S_1$ du premier dioptre $DS_1$.
* l'*élévation algébrique* **$\overline{AB}$** du point B par rapport à l'axe optique (_en choisissant préalablement un sens positif d'orientation commun à toute droite perpendiculaire à l'axe optique_).

##### Calcul de l'image finale d'un objet initial de position connue

La position du point $B$ est connue, grâce aux valeurs numériques de $\overline{AS_1}$ et $\overline{AB}$.

!!! *EXEMPLE* : je reprends l'exemple du scientifique qui observe un poisson des abymes à travers le hublot grossissant d'un bathyscaphe. Cela donne :
!!! * milieux extrêmes : $n_1$=$n_{eau}=4/3$ et $n_2$=$n_{air}=1$
!!! * hublot lenticulaire : $n$=$n_{verre}=3/2$, $\overline{S_1C_1}=1 m$, $\overline{S_2C_2}= -1 m$ et $\overline{S_1S_2}=5 cm$,

Pour calculer la position de l'image finale $B'$, je décompose l'action du système optique en considérant les actions successives des deux dioptres qui le constituent :

Le premier dioptre $DS_1$ forme de l'objet ponctuel initial $B$ une image ponctuelle $B_{int}$. Cette image intermédiaire $B_{int}$ devient objet pour le second dioptre $DS_2$ qui en forme une image ponctuelle finale $B'$. Le point $B'$ est donc l'image ponctuelle de l'objet ponctuel $B'$ par le système optique centré $SO$ formé par les deux dioptres successifs $DS_1$ et $DS_2$.

La **relation de conjugaison** genérale $`\dfrac{n_{fin}}{\overline{SA_{ima}}}-\dfrac{n_{ini}}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{n_{fin}-n_{ini}}{\overline{SC}}`$ et l'**expression du grandissement transversal** générale $`\overline{M_T}=\dfrac{n_{ini}\cdot\overline{SA_{ima}}}{n_{fin}\cdot\overline{SA_{obj}}}`$ des dioptres sphériques, *appliquées au* **dioptre sphérique particulier $DS_1$** donnent :

* **$`\dfrac{n}{\overline{S_1A_{int}}}-\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}=\dfrac{n-n_1}{\overline{S_1C_1}}`$** (équ. 1a)

* **$`\overline{M_T}=\dfrac{n_1\cdot\overline{S_1A_{int}}}{n\cdot\overline{S_1A}}`$** (équ. 1b)

Je peux maintenant calculer la position du point image intermédiaire $B_{int}$. De l'équation 1a je peux calculer la valeur numérique de  $\overline{S_1A_{int}}$ du point image intermédiaire $A_{int}$ (_projection orthogonale de_ $B_{int}$ _sur l'axe optique_), et de l'équation 1b la valeur numérique de l'élévation $\overline{A_{int}B_{int}}$ :

$\overline{S_1A_{int}}=\dfrac{n\cdot\overline{S_1C_1}\cdot\overline{S_1A}}
{(n-n_1)\cdot\overline{S_1A}\;+\;n_1\cdot\overline{S_1C_1}}$  (équ. 1c)

par définition $\overline{M_T}=\dfrac{\overline{A_{int}B_{int}}}{\overline{AB}}$$\Longrightarrow\overline{A_{int}B_{int}}=\dfrac{n_1\cdot\overline{S_1A_{int}}}{n\cdot\overline{S_1A}}\cdot\overline{AB}$   (équ. 1d)

!!! *EXEMPLE* : &nbsp;&nbsp;(_suite_)<br>
!!! poisson :  $\overline{S_1A}= - 1 m$  et  $\overline{AB}= 7 cm$.<br>
!!! $\Longrightarrow\overline{S_1A_{int}}=-\dfrac{9}{7} m$  et  $\overline{A_{int}B_{int}}= +8 cm$.

Maintenant que la lumière à traversée le premier dioptre $DS_1$, est s'apprête à, franchir le second dioptre $DS_2$. Du point de vue du $DS_2$, les rayons incidents initiés par le point objet $B$ semblent parvenir du point intermédiaire $B_{int}$. Ce point $B_{int}$, point image pour le dioptre $DS_1$ devient point objet pour le dioptre $DS_2$.

La **relation de conjugaison** et l'**expression du grandissement transversal** générales des dioptres sphériques, *appliquées au* **dioptre sphérique particulier $DS_2$** donnent :

* **$`\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}-\dfrac{n}{\overline{S_2A_{int}}}=\dfrac{n_2-n}{\overline{S_2C_2}}`$** (équ. 2a)

* **$`\overline{M_T}=\dfrac{n\cdot\overline{S_2A'}}{n_2\cdot\overline{S_2A_{int}}}`$** (équ. 2b)

Je peux calculer la valeur numérique $\overline{S_2A_{int}}$ en remarquant que

$\overline{S_2A_{int}}=\overline{S_1S_2}+\overline{S_1A_{int}}=\overline{S_1A_{int}}-\overline{S_1S_2}$. 

En injectant enfin $\overline{S_2A_{int}}$ et $\overline{A_{int}B_{int}}$ dans les équations 2a et 2b, je détermine les valeurs numériques $\overline{S_2A'}$ et $\overline{A'B'}$ donnant la position de l'image finale $B'$.

!!! *EXEMPLE* : &nbsp;&nbsp;(_suite_)<br>
!!! $\overline{S_2A_{int}}=-\frac{9}{7}-0.005=-1.334\:m$<br>
!!! $\overline{S_2A'}=-1.605\:m$<br>
!!! $\overline{A'B'}=+14.4\:cm$
!!!
!!! Attention, je dois donner une réponse pertinente au problème ! L'image finale n'est pas destinée à se former sur un capteur pour son enregistrement. Ce n'est pas la position de l'image par rapport au hublot ni sa taille qui sont déterminantes, mais la distance $\overline{A'O}$de l'image à l'oeil $O$ du scientifique, et l'angle apparent $\alpha$ sous lequel il voit le poisson.
!!!
!!! Donnée supplémentaire : l'oeil O du scientifique est situé à 10cm de la surface du hublot : $\overline{OA'}=-1.615\:m$ : donc l'image est situé devant l'oeil, le scientifique pourra la voir. De plus cette image est située plus loin que le puctum proximum, donc le scientifique pourra la voir nette. <br>
!!! Je sais que l'image est droite, je vais travailler maintenant pour simplifier en valeurs non algébriques :<br>
!!! $\alpha=arctg\left(\frac{A'B'}{A'O}\right)$$=arctg\left(\frac{0.144}{1.610}\right)$$=arctan(0.089)=0.089\:rad=5°$<br>
!!! Je vois bien ici que la valeur de l'angle apparent __exprimée en radian__ est quasi identique à la valeur de sa tangente, ce qui est une condition pour considérer l'angle petit. Cela valide les conditions de Gauss considérées pour cette observation, et donc  justifie l'étude de ce problème dans le cadre de l'optique paraxiale.


##### Calcul général de l'image finale 

Si je devais chercher les deux équations qui donnent directement la position  $B'$ en fonction de la position de $B$, le calcul (qui n'est pas à faire) serait fastidieux et le résultat complexe. Il donnerait :

$\overline{S_2A'}=\frac{  n_2 \cdot\overline{S_2C_2} \cdot\left(\frac{ n \cdot \overline{S_1C_1} \cdot\overline{S_1A}}{(n-n_1) \cdot\overline{S_1A}+n_1 \cdot \overline{S_1C_1}}- \overline{S_1S_2}\right)}{(n_2n)\cdot\left(\frac{n\cdot\overline{S_1C_1}\cdot\overline{S_1A}}{(n-n_1)\cdot\overline{S_1A}\;+\;n_1\cdot\overline{S_1C_1}}-\overline{S_1S_2}\right)+n\cdot \overline{S_2C_2}}$   (équ.3a)

$\overline{A'B'}=\overline{AB}\times\overline{M_{T-SO}}$, avec

$\overline{M_{T-SO}}=\frac{n\cdot n_1\cdot \overline{S_1C_1}}{(n-n_1)\cdot\overline{S_1A}+n_1\cdot\overline{S_1C_1}}\:\times\:$
$\frac{\overline{S_2C_2}}{(n2-n)\cdot\left(\frac{n\cdot\overline{S_1C_1}\cdot\overline{S_1A}}{(n-n_1)\cdot\overline{S_1A}+n_1\cdot\overline{S_1C_1}}-\overline{S_1S_2}\right)-n\cdot\overline{S_2C_2}}$    (équ.3b)

Ces équations sont difficiles à établir et à retenir. Essayons au moins d'établir la relation de conjugaison de type $\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}-\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}=\cdot\cdot\cdot$

##### A la recherche d'une équation de conjugaison simple pour la lentille épaisse

Les équations complexes 3a et 3b sont difficiles à manipuler. le plus simples est de repartir des équations (équ.1a) et (équ.2a) où les grandeurs $\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}$ et $\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}$ apparaissent déjà. L'addition de chaque membre des équations (équ.1a) et (équ.2a) donne :

$`\dfrac{n}{\overline{S_1A_{int}}}-\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}+\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}-\dfrac{n}{\overline{S_2A_{int}}}$$=\dfrac{n-n_1}{\overline{S_1C_1}}+\dfrac{n_2-n}{\overline{S_2C_2}}`$

En ne gardant au premier membre que les termes $\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}$ et $\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}$ j'obtiens l'équation :

$\dfrac{n_2}{\overline{S_2A'}}-\dfrac{n_1}{\overline{S_1A}}$$
\:=\:\dfrac{n-n_1}{\overline{S_1C_1}}+\dfrac{n_2-n}{\overline{S_2C_2}}+\dfrac{n}{\overline{S_2A_{int}}}-\dfrac{n}{\overline{S_1A_{int}}}$

Cette équation relativement simple semble convenir, mais c'est une *équation inutile*. Certes le membre de gauche ne contient que les informations sur les conditions d'utilisation de la lentille épaisse (_les indices_ $n_1$ _et_ $n_2$ _des milieux de part et d'autre de la lentille_) et de la position de l'objet $B$ (_la distance algébrique_ $\overline{S_1A_{int}}$_, position du point_ $A$ _par rapport au sommet_ $S_1$ _du premier dioptre rencontré par la lumière_). Mais pour être utile, le membre de droite ne devrait contenir que des grandeurs caractérisant la lentille épaisse elle-même : 
* $n-n_1$ et $n-n_2$  : indices de réfraction différentiels entre matériau constituant la lentille et les milieux extérieurs.
* $\overline{S_1C_1}$ et $\overline{S_2C_2}$ : rayons de courbures algébriques des faces d'entrée et de sortie de la lentille. 
* $\overline{S_1S_2}$ épaisseur de la lentille.
Or ce terme de droite contient aussi les distances algébriques $\overline{S_1A_{int}}$ et $\overline{S_2A_{int}}$ qui concernent la position de l'image intermédiaire $A_{int}$, or cette position dépend elle-même de la position du point objet initial $A$.

Lorsque les **positions des points objets et images** sont **précisées par leur distances par rapport aux sommets $S_1$ et $S_2$**, frontières physiques de la lentille épaisse avec son axe optique, il n'existe **pas d'équation simple** séparant dans un terme de gauche les conditions d'utilisation de la lentille et de positions de l'objet et de l'image, et dans un terme de droite les seules caractéristiques des deux dioptres formant la lentille épaisse. Une formule de conjugaison générale pour tout système centré sera établie au chapitre "Etude des systèmes centrés".

!! *Pour aller plus loin*: 
!!
!! Tout système centré, qu'ils soit composé de deux ou de plusieurs éléments simples centrés sur un même axe optique, pourra être caractérisé par deux plans virtuels, appelés : 
!! * plan principal objet (P) de point d'intersection avec l'axe optique $H$
!! * plan principal image (P') de point d'intersection avec l'axe optique $H'$
!! qui remplaceront respectivement la face d'entrée de la première lentille ou miroir du système par la lumière, et la face de sortie de la dernière lentille ou du dernier miroir).
!!
!! Ces plans permettront de définir une relation de conjugaison simple de forme connue : 
!!
!! $\frac{n'}{\overline{H'A'}}-\frac{n}{\overline{HA}}=V$ (avec V, vergence du système dans son environnement)
!!
!! et serviront de référence au positionnement des points focaux objet F et image F' du système dans son environnement :
!!
!! $V=-\frac{n}{\overline{HF}}=\frac{n'}{\overline{H'F'}}$
!!
!! Contrairement à $\overline{S_1S_2}$ toujours positive qu'elle remplacera, la distance algébrique $\overline{H_1H_2}$ pourra être positive ou négative.


### Lentille mince 

Une lentille est dite **lentille mince** lorsque la *distance entre les deux sommets $S_1$ et $S_2$* de la lentille est *petite devant chacun des rayons de courbures* des deux faces.

Cette condition, $\overline{S_1S_2} \ll \overline{S_1C_1}$ et $\overline{S_1S_2} \ll \overline{S_2C_2}$ me permet de faire l'approximation $\overline{S_1S_2}\rightarrow 0$ dans les diverses équations de la lentille épaisse, considérant ainsi que les sommets $S_1$ et $S_2$ se confondent en un même point O.

$\overline{S_1S_2}\rightarrow 0 \:\longrightarrow\:S_1=S_2=O$$\:\longrightarrow\:$\overline{S_1C_1}\rightarrow\overline{OC_1}$ et $\overline{S_2C_2}\rightarrow \overline{OC_2}$
 
##### Lentille mince en milieux extrêmes différents

Je peux toujours considérer la lentille mince comme un système optique composé de deux dioptres sphériques centrés, et donc reprendre l'étude initiale de la lentille épaisse, mais avec l' approximation suivante : $S_1=S_2=O$ 


##### Lentille mince plongé dans un même milieu

Je peux toujours considérer la lentille mince comme un système optique composé de deux dioptres sphériques centrés, et donc reprendre l'étude initiale de la lentille épaisse, mais avec les approximations suivantes : $S_1=S_2=O$ et $n_1=n_2=n_{ext}$


##### Lentille mince utilisés dans l'air ou dans le vide

Ce sont les conditions d'utilisation des lentilles minces dans la très grande majorité des cas. Je reprendre l'étude initiale de la lentille épaisse avec les approximations suivantes :

$S_1=S_2=O$ et $n_1=n_2=1$

###### Pour le **premier dioptre** :

La relation de conjugaison genérale $`\dfrac{n_{fin}}{\overline{SA_{ima}}}-\dfrac{n_{ini}}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{n_{fin}-n_{ini}}{\overline{SC}}`$ et l'expression du grandissement transversal générale $`\overline{M_T}=\dfrac{n_{ini}\cdot\overline{SA_{ima}}}{n_{fin}\cdot\overline{SA_{obj}}}`$ des dioptres sphériques, donnent :

* **$`\dfrac{n}{\overline{OA_{int}}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{n-1}{\overline{S_1C_1}}`$** (équ. 1a)

* **$`\overline{M_T}=\dfrac{1\cdot\overline{OA_{int}}}{n\cdot\overline{OA}}`$** (équ. 1b)

###### Pour le **second dioptre** :

Ces mêmes expressions générales donnent :

* **$`\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{n}{\overline{OA_{int}}}=\dfrac{1-n}{\overline{S_2C_2}}`$** (équ. 2a)

* **$`\overline{M_T}=\dfrac{n\cdot\overline{OA'}}{1\cdot\overline{OA_{int}}}`$** (équ. 2b)

Additionner entre elles les équations 1a et 2a donne:


$\dfrac{n}{\overline{OA_{int}}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}+\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{n}{\overline{OA_{int}}}=\dfrac{n-1}{\overline{S_1C_1}}+\dfrac{1-n}{\overline{S_2C_2}}$

soit 

**$\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=(n-1)\cdot\left(\dfrac{1}{\overline{S_1C_1}}-\dfrac{1}{\overline{S_2C_2}}\right)$**  (équ. xxx)

**Cette équation est vraiment utile** :
* au premier membre ne se situent que les positions des points objet et image conjugués $A$ et $A'$  sur l'axe optique relativement au point O qui positionne la lentille mince sur cet axe.
* au second membre n'intervient que ce qui caractérise la lentille mince (_ses deux rayons algébriques de courbure_ $S_1C_1$, $S_2C_2$ et l'indice de réfraction $n$ du matériau qui la compose (_la position du point image intermédiaire_ $A_{int}$ _de_ $A$ _par le premier dioptre n'intervient pas_) donc ce second membre est indépendant de la position du point-objet $A$ initial. 

Connaissant les caractéristiques physiques ($S_1C_1$, $S_2C_2$, $n$) de la lentille, cette équation xxx *peut servir à calculer la position de tout point objet $A$ ou image $A'$ connaissant la position de son point conjugué* , c'est l'**équation de conjugaison de la lentille mince**.

Cette lentille étant plongée dans un même milieu d'indice de réfraction fixé $n_{ext}=1$, la vergence comme les points focaux image et objet de la lentille peuvent être déterminés à partir des caractéristiques physiques de la lentille :


la **relation de conjugaison de la lentille mince** vue au niveau "plaine".

