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title: 'Le dioptre sphérique en approximation paraxiale'
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### Surface réfractante et dioptre

Une **surface réfractante** est une *surface séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes différents*, caratérisés par deux indices de réfraction de valeurs différentes.

Les surfaces réfratantes les plus rencontrées sont les surfaces réfractantes planes et sphériques.

#### Surface plane réfractante et dioptre plan 

Considérons une **surface réfractante plane**. Comme les *milieux sont différents de part et d'autre* de la surface réfractante, **le plan de la surface n'est pas un plan de symétrie**. Optiquement, cela se traduit par le fait qu'un même objet situé à une même distance du dioptre ne donnera pas la même image selon qu'il est situé dans le milieu d'indice de réfraction fort ou faible. Les images obtenues de ce même objet ne se situeront pas à la même distance du dioptre ni n'auront la même taille. 

*Selon le sens de propagation de la lumière* (du milieu d'indice $n_a$ vers le milieu d'indice $n_B$, ou l'inverse), une surface réfractante définira **deux comportements optiques différents**. 


! Quand je ragarde une surface réfractante, je peux dire "je vois un dioptre", parce que l'action de regarder une surface réfractante impose un sens de propagation de la lumière, le milieu final d'indice de réfraction $n_{fin}$ étant celui dans lequel je me situe, le plus souvent l'air. Mais en tant qu'acteur de la science et la technologie, concevant des systèmes optiques comprenant des surfaces réfractantes entre des milieux où je ne me situe pas, je dois considérer qu'une surface réfractante définit deux dioptres :
!
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;*1 surface réfractante = 2 dioptres*





Dioptre sphérique, en approximation paraxiale.

#### Dioptre.

Un **dioptre** est une *surface polie séparant deux milieux d'indice de réfraction différents*.

!!!! *ATTENTION* :<br>
!!!! Si il existe en espagnol et en anglais respectivement les simples mots "espejo" et "mirror" pour qualifier une surface réfléchissante, il n'existe pas dans ces deux langues un simple mot pour qualifier une surface réfractante ("dioptre" en français). Ainsi dans ces deux langues, un "dioptre" sera qualifié par sa simple description "surface réfractante", soient "superficie refractiva" en espagnol et "refracting surface" en anglais. En anglais, le terme "dioptre" existe, mais il désigne une unité de mesure de la vergence (du pouvoir réfractant), unité appelée "dioptrie" en français et "dioptría" en espagnol. Donc se souvenir du schéma suivant :
!!!!
!!!! surface réfractante : *FR : dioptre* , *ES : superficie refractiva* , *EN : refracting surface*.<br>
!!!! _la surface d'une boule de cristal forme un dioptre sphérique : une "spherical refracting surface" et "superficie refractiva esférica" respectivement en espagnol et anglais._
!!!!
!!!! unité de mesure : *FR : dioptrie* , *ES : dioptría* , *EN : dioptre*.<br>
!!!! _Les verres correcteurs de mes deux yeux ont une même puissance de 4 dioptries : "4 dioptries" et "4 dioptres" respectivement en espagnol et anglais._

#### Dioptre sphérique.

#### Etude analytique de la position et de la forme d'une image.

Un **dioptre sphérique** en optique anlytique paraxial est caractérisé par "trois grandeurs physiques" :
* **$`n_{ini}`$** : *indice de réfraction du milieu initial* (milieu situé du côté de la lumière incidente).
* **$`n_{fin}`$** : *indice de réfraction du milieu final* (milieu situé du côté de la lumière émergeante, après réfraction par le dioptre).
* **$`\overline{SC}`$** : *distance algébrique entre le __sommet S__* (point d'intersection du dioptre avec l'axe optique, son axe de révolution) *et le __centre de courbure C__* de la surface sphérique du dioptre.

! *IMPORTANT* : L'étude analytique ci-dessous s'applique aussi pour un dioptre pla,. Il sufit de remarquer qu'un dioptre plan est un dioptre sphérique dont le rayon de courbure tend vers l'infini.

Soit un *point objet* **$`B_{obj}`$** dont la projection orthogonale sur l'axe optique donne le *point objet*  **$`A_{obj}`$**. Si le point objet est situé sur l'axe optique, alors $`B_{obj}=A_{obj}`$ et nous l'appellerons point objet $`A_{obj}`$. Le pint objet $`B_{obj}`$ peut aussi bien être **réel** *que* **virtuel**.

Le **calcul de la position** du *point image* **$`B_{ima}`$**, *point conjugué du point objet $`B_{obj}`$* par le dioptre, s'effectue en **deux étapes** :

1.  J'utilise la **relation de conjugaison du dioptre sphérique** pour calculer la *position du point* **$`A_{ima}`$**, $`A_{ima}`$ étant la *projection orthogonale sur l'axe optique du point image* $`B_{ima}`$. 

**$`\dfrac{n_{fin}}{\overline{SA_{ima}}}-\dfrac{n_{ini}}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{n_{fin}-n_{ini}}{\overline{SC}}`$**

Pour réaliser ceci *je dois connaître la __distance algébrique__* **$`\overline{SA_{obj}}`$**, et le *calcul de la __distance algébrique__* **$`\overline{SA_{ima}}`$** le long de l'axe optique *me donne la position du point $`A_{ima}`$*.
<!--conjugación-->

2. J'utilise la **formule du "grandissement transversal" pour un dioptre sphérique** pour calculer la *__valeur algébrique__ du grandissement transversale* **$`\overline{M_T}`$** *du sègment $`[A_{obj}B_{obj}]`$, puis j'en déduis la *__longueur algébrique__* **$`\overline{A_{ima}B_{ima}}`$** du sègmentt $`[A_{ima}B_{ima}]`$, c'est à dire la distance entre le point image $`B_{ima}`$ et sa projection orthogonale sur l'axe optique $`A_{ima}`$.

Par *definition :* **$`\overline{M_T}=\dfrac{\overline{A_{ima}B_{ima}}}{\overline{A_{obj}B_{obj}}}`$**.
Son *expression pour un dioptre sphérique* est : **$`\overline{M_T}=\dfrac{n_{ini}\cdot\overline{SA_{ima}}}{n_{fin}\cdot\overline{SA_{obj}}}`$**.

Je connais $`\overline{SA_{obj}}$, $n_{ini}$ and $n_{fin}$, j'ai précédemment calculé $`\overline{SA_{ima}}$, alors je peux déterminer $`\overline{M_T}`$ et en déduire $`\overline{A_{ima}B_{ima}}`$


! *IMPORTANT* : La relation de conjugaison et la formule du grandissement transversal pour un dioptre plan s'obtiennent facilement en réécrivant la relation de conjugaison et la formule du grandissement transversal pour un dioptre pour un dioptre sphérique dans la limite d'un rayon de courbure qui tend vers l'infini :  $`|\overline{SC}|\longrightarrow\infty`$.<br> Cela donne *pour un dioptre plan :*
!
! * *relation de conjugaison :*&nbsp;&nbsp; $`\dfrac{n_{fin}}{\overline{SA_{ima}}}-\dfrac{n_{ini}}{\overline{SA_{obj}}}=0`$.
!
! * *formule du grandissement transversal :*&nbsp;&nbsp; $`\dfrac{n_{ini}\cdot\overline{SA_{ima}}}{n_{fin}\cdot\overline{SA_{obj}}}`$ &nbsp;&nbsp; (unchanged).
!
! Ceci généralise et complète votre maîtrise du dioptre plan par rapport à ce que vous avez vu dans votre parcours pédagogiques en plaine et collines sur les dioptres plan.


#### Etude graphique de la position et de la forme d'une image.




