Update textbook.fr.md

00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md

@@ -4,401 +4,286 @@ published: false
 visible: false
 ---
 
-Coordonnées sphériques N3_
+_Coordonnées cartésiennes N3_
 
-#### Coordonnées sphériques
+#### Coordonnées cartésiennes
 
-##### Définition des coordonnées et domaines de définition
+#####  Définition des coordonnées et domaines de définition
 
-* *205* : 
+<!--* *C50* : -->
 
-Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$,
+Système de coordonnées cartésiennes :<br>
+\- **1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.<br>
+\- **3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.<br>
+\- **1 unité de longueur**.
 
-avec :
+Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$
 
-$`r\in [0;\infty[`$ ,  $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$.
+Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$,
+et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...). <br>
+ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :<br>
+Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.
 
-**$`\mathbf{ r\in [0;\infty[}`$  ,  $`\mathbf{\theta\in[0,\pi]}`$  ,  $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[ }`$**
+Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les 
+distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. 
 
-Coordonnées sphériques d'un point $`M`$ :
+**$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$**
 
-$`(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ :
+Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**.
 
-on écrit :
+**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$**
 
-$`M(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$
+Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$.
 
-Si le point est un point quelconque, on simplifie
+Si le point est un point quelconque, on simplifie :
 
-$`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$**
+$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$**
 
-##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée
+**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont :
 
-* *210* : 
+**$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$  ,  $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$  ,  $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$**
 
-[FR] élément scalaire de longueur :
 
-$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ ,
-**$`\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}`$**
+##### Base vectorielle et repère de l'espace associés
 
+__*Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée*__
 
-* *215* : 
+<!--* *C59* : -->
 
-Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques :
+Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon 
+continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
+de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$,
+la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
 
-<br>$`\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}`$**
+$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$
+$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$  , **$`\mathbf{dl_x=dx}`$**
 
-* *220* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+de même
 
-Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques :
+$`dl_y=dy`$  , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**<br>
 
-$`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}`$**.
+$`dl_z=dz`$  , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$**
 
-* *225* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes :
+!!!!
+!!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$.
+!!!!
+!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie.
+!!!!
+!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$
+!!!!
+!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale  d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée.
 
-Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
-continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment
-de droite de longueur $`\Delta l_r=\Delta r`$. Lorsque $`\Delta r`$ tend vers $`0`$,
-la longueur infinitésimale $`dl_r`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+<!--
+* *C60* : 
 
-$`\displaystyle dr=\lim_{\Delta r\rightarrow 0 \\ \Delta r>0} \Delta r`$
-$`\quad\Longrightarrow\quad dl_r=dr`$ , **$`\mathbf{dl_r=dr}`$**
+[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $`M(x,y,z)`$ 
+hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
+el Elemento escalar de línea $`dl`$ se escribe simplement :
 
-Lorsque seule la coordonnées $`\theta`$ d'un point  $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
-continue entre les valeurs $`\theta`$ et $`\theta +\Delta \theta`$, le point $`M`$ parcourt un 
-arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\theta}=r\;\Delta \theta`$. Lorsque $`\Delta \theta`$ tend vers $`0`$,
-la longueur infinitésimale $`dl_{\theta}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : si un point $`M(x,y,z)`$ 
+fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
+l'élément scalaire de longueur $`dl`$ s'écrit simplement :
 
-$`\displaystyle d\theta=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0 \\ \Delta \theta>0} \Delta\theta`$
-$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\theta}=r\,d\theta`$ , **$`\mathbf{dl_{\theta}=r\,d\theta}`$**   
+[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : if a point $`M(x,y,z)`$ makes 
+an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
+the scalar line element $`dl`$ writes simply :
 
-Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point  $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon 
-continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un 
-arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$,
-la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est :
+$`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}`$**
+-->
 
-$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$
-$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}`$** 
+__*Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée*__
 
-* *230* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+<!--* *C75* : -->
 
-Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ 
-est la base associée aux coordonnées sphériques.
-En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés 
-changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace.
+Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon 
+infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement 
+$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur
+tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :
 
-$`||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1`$
+$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$
 
-$`\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}`$
+Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens 
+de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :
 
-$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*.
-<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*.
-<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base.
+$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$
 
-$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
-<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
-<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
+de même :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$,
+$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$,
+$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$
+
+##### Base et repère cartésiens
+
+<!--* *C80* : -->
+
+Les vecteurs déplacement élémentaire $`\partial\overrightarrow{OM}_x , \partial\overrightarrow{OM}_y , \partial\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$.
+
+Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ 
+forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes.
+En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la 
+**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.
+
+$`||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br>
+$`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}`$
+
+$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ 
+base orthogonale indépendante de la position de $`M`$
+
+<!--* *C82* : -->
+
+[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, 
+est l'ensemble formé par un point  $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
+
+En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :<br>
+\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.<br>
+\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression 
+$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$  dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
+Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$.
+
+Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$: <br>
+$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.<br>
+$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
+Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :<br>
+\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I. <br>
+\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$  s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I. <br>
+\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I. <br>
+\- ...
+
+
+forment le repère cartésien 
+$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
 
-* *235* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
+Un point $`M`$ de l'espace est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$.
+Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fonctio
 
-Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 
 
-$`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
-base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
-de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.<br>
-<br>$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l}
-\overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\
-\overrightarrow{e_{\theta}}  = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\
-\overrightarrow{e_{\varphi}}  = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\
-\end{array} \right.`$
 
-$`\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
-<br>$`\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$<br>
-<br>$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$
 
-dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ :
+##### Déplacement, surface et volume élémentaires
 
-$`\overrightarrow{e_r}(t)=
-\left| \begin{array}{l}
-sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
-sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
-cos\,\theta(t) \\
-\end{array} \right.\quad`$ , 
-$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=
-\left|\begin{array}{l}
-cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\
-cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\
--\,sin\,\theta(t) \\
-\end{array}\right.\quad`$ , 
-$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=
-\left|\begin{array}{l}
--\,sin\,\varphi(t) \\
-cos\,\varphi(t) \\
-0 \\
-\end{array}\right.`$
-
-Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ :
-
-en se rappelant : $`(fg)'=f'g+fg'`$  
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
-\left| \begin{array}{l}
-\dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\
-\\
-\dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\
-\\
-\dfrac{d}{dt} [\,  cos\,\theta(t)\, ] \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`\quad =
-\left| \begin{array}{l}
-\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
-\\
-\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
-\\
-\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\
-\end{array} \right.\quad`$
-
-et en se rappelant  : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , 
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
-\left| \begin{array}{l}
-cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
-\\
-cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
-\\
--\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\
-\end{array} \right.\quad`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=
-\dfrac{d\theta}{dt}\cdot 
-\left| \begin{array}{l}
-cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
-cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
--\,sin\,\theta \\
-\end{array} \right.`$
-$`\;+\;
-sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot 
-\left| \begin{array}{l}
--\,sin\,\varphi \\
-cos\,\varphi \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
-**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+__*Vecteur déplacement élémentaire*__
+
+<!--* *C85* : -->
+
+La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ 
+est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :
+
+$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$
 
 de même :
 
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}=
-\left| \begin{array}{l}
-\dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\
-\\
-\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\
-\\
-\dfrac{d}{dt} [-\,  sin\,\theta(t)\, ] \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`\quad =
-\left| \begin{array}{l}
-\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\
-\\
-\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\
-\\
--\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\
-\end{array} \right.\quad`$
-
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=
-\left| \begin{array}{l}
--\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi  \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\
-\\
--\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\
-\\
--\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\
-\end{array} \right.\quad`$<br>
-<br>
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=
-\dfrac{d\theta}{dt}\cdot 
-\left| \begin{array}{l}
--\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
--\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
--\,cos\,\theta \\
-\end{array} \right.`$
-$`\;+\;
-cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot 
-\left| \begin{array}{l}
--\,sin\,\varphi \\
-cos\,\varphi \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$<br>
-<br>
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$<br>
-<br>
-**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
-
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=
-\left| \begin{array}{l}
-\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\
-\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`\quad=
-\left| \begin{array}{l}
--\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
--\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-
-$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$
-
-**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**<br>
-
-avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique :
-
-$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. 
-
-
-* *240* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
-Méthode 2 pour le calcul de 
-$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ 
-
-$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
-$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
-$`=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)`$<br>
-$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
-$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
-$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
-$`=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)`$<br>
-$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$
-$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
-$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)`$
-
-$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
-$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
-$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$
-
-$`\theta=\theta(t)`$ , $`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal, $`\theta`$ et $`\varphi`$ varient de :
-
-$`d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt`$ et $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
-
-$`\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal :
-
-$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br>
-$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ <br>
-$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br>
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ <br>
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
-
-$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}=
-\left|\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\
-\end{array} \right.\quad`$ 
-$`=\left|\begin{array}{l}
-cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
-cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
--\,sin\,\theta \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=\overrightarrow{e_{\theta}}`$
-
-$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}=
-\left|\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\
-\end{array} \right.\quad`$ 
-$`=\left|\begin{array}{l}
--\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
-sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
-$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}=
-\left|\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\
-\end{array} \right.\quad`$ 
-$`=\left|\begin{array}{l}
--\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
--\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
--\,cos\,\theta \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=-\,\overrightarrow{e_r}`$
-
-$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}=
-\left|\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\
-\end{array} \right.\quad`$ 
-$`=\left|\begin{array}{l}
--\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\
-cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
-$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}=
-\left|\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=
-\left|\begin{array}{l}
-0 \\
-0 \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=\overrightarrow{0}`$
-
-$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}=
-\left|\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\
-\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=
-\left|\begin{array}{l}
--\,cos\,\varphi \\
--\,sin\,\varphi \\
-0 \\
-\end{array} \right.\quad`$
-$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$
-
-avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique  :
-$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. 
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\quad`$
-$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
-$`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
-$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-* *245* : 
-$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$
-$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$
+$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$<br>
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+
+<!--* *C90* : -->
+
+L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en 
+coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point
+$`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités
+$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit :
+
+$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$
+$`=\partial\overrightarrow{OM}_x+\partial\overrightarrow{OM}_y+\partial\overrightarrow{OM}_z`$
+$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$
+$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$
+$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$**
+**$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$**
+**$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+__*Scalaire déplacement élémentaire*__
+
+
+[FR] et sa norme el l'élément de longueur :
+
+$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$
+
+$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$
+$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot
+(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$
+$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
+$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$
+$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
+$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
+$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$
+$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$
+$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$
+$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$
+$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$
+
+__*Surfaces élémentaires*__
+
+<!--* *C95* : --> 
+
+Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$,
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et
+$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
+
+$`\Longrightarrow`$ :
+
+L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprimera 
+simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs 
+sera simplement le produits de leurs normes.
+
+<!--* *C105* : -->
+
+Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont :
+
+\- dans un plan $`z = cst`$ :<br>
+$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**<br>
+\- dans un plan $`y = cst`$ :<br>
+$`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}`$**<br>
+\- dans un plan $`x = cst`$ :<br>
+$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$**
+
+<!--* *C110* : -->
+
+et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont :
+
+$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_y`$
+$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$
+$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$
+$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$
+$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$
+$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$
+$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
+$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$
+$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$
+$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$
+$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$
+$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$
+$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$
+
+__*Volume élémentaire*__
+
+<!--* *C130* : -->
+
+Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes :
+
+$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$**
+
+
+#### Vecteur position
+
+<!--* *C125* : -->
+
+Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :<br>
+[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:<br>
+
+$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$
+
+**$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+#### Vecteur vitesse
+
+#### Vecteur accélération
+