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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -9,6 +9,10 @@ visible: false
 
 <br>
 
+**POUR L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION**
+**----------------------------**
+
+POUR L'ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES DE PROPAGATION
 ----------------------------
 
 #### L'opérateur laplacien scalaire, et la propagation d'un champ scalaire.
@@ -98,7 +102,7 @@ visible: false
   <br>
   L'écriture générale de cette équation *utilise l'opérateur lagrangien vectoriel $`\overrightarrow{\Delta}`$* et s'écrit :   
   <br>
-  **$`\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$**
+  **$`\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}`$**
 
 * Cet opérateur laplacien vectoriel **$`\overrightarrow{\Delta}`$ possède une existence en soi**, 
   *indépendante de son expression dans un système de coordonnées* donné, de même qu'un vecteur 
@@ -122,17 +126,25 @@ visible: false
 * L'expression du laplacien vectoriel **$`\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}`$**
   d'un vecteur $`\overrightarrow{U}`$ **en coordonnées cartésiennes** est :   
   <br>
-  **$`\overrightarrow{\Delta}=\left(\begin{array}{l}
-    \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
-    \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
-    \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
-    \end{array}\right)`$**
+**$`\overrightarrow{\Delta}=\left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
+\end{array}\right)`$**
 
-  **$`\overrightarrow{\Delta}=\begin{pmatrix}
+**$`\overrightarrow{\Delta}=\begin{pmatrix}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
+\end{pmatrix}`$**
+
+  **$`\overrightarrow{\Delta}=
+   \left(
+   \begin{array}{l}
+    \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}
     \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\\
-    \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
-    \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
-    \end{pmatrix}`$**
+    \end{array}
+   \right)`$**
 
   **$`\overrightarrow{\Delta}=
    \left(
@@ -386,11 +398,11 @@ possède son champ $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
   <br><br>
   *$`\large{\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
 -\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$
-$`\;\;\large{-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0}`$*      
+$`\;\;\large{-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}}`$*      
   <br><br>
   ou écrit avec le laplacien scalaire :   
   <br><br>
-  **$`\large{\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0}`$**      
+  **$`\large{\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}`$**      
   <<br><br>
   **alors le champ vectoriel $`f`$ se propage** *à la célérité $`\mathscr{v}`$*.