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@@ -1521,6 +1521,10 @@ une **valeur moyenne**, et de leurs **écarts respectifs** par rapport à la val
      <br>
      **$`\varphi_2 =`$**$`\; \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} -  \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} = `$ *$`\; \varphi_{moy} - \Delta \varphi_{12}`$*    
 
+<br> 
+
+**Calcul de l'onde résultante** *en notation réelle*
+
 * *Travaillons* d'abord avec les **termes d'amplitude** :   
 <br>
 **$`U(\overrightarrow{r},t)`$**$`\; = U_1(\overrightarrow{r},t) + U_2(\overrightarrow{r},t)`$   
@@ -1600,6 +1604,93 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
     &\quad\times\,sin\big(\Delta \omega_{12} t + \Delta \overrightarrow{k}_{12}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{12}\big)
     \end{array}`$**
 
+<br>
+
+ **Calcul de l'onde résultante** *en notation complexe*
+ 
+ * *Travaillons* d'abord avec les **termes d'amplitude** :   
+<br>
+**$`\underline{U}(\overrightarrow{r},t)`$**$`\; = \underline{U}_1(\overrightarrow{r},t) + \underline{U}_2(\overrightarrow{r},t)`$   
+<br>
+$`\begin{array}\quad = &A_1\,exp\big[\,i\,\big(\underbrace{\omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1}_{\color{blue}{\theta_1(\vec{r},t)}}\big)\big]\\
+  &+ A_2\,exp\big[\,i\,\big(\underbrace{\omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2}_{\color{blue}{\theta_2(\vec{r},t)}}\big)\big]\end{array}`$
+
+$`\quad\;\, = A_1\,e^{\,i\,\theta_1} + A_2\,e^{\,i\,\theta_2}`$   
+
+$`\quad\;\, = (A_{moy}+ \Delta A_{12})\,e^{\,i\,\theta_1} + (A_{moy} - \Delta A_{12})\,e^{\,i\,\theta_2}`$  
+
+**$`\quad\;\, = A_{moy}\,(e^{\,i\,\theta_1} + e^{\,i\,\theta_2}) + \Delta A_{12}\,(e^{\,i\,\theta_1} - e^{\,i\,\theta_2})`$**
+
+
+* *Travaillons* les **termes de phase** :   
+<br>
+**$`\theta_1(\overrightarrow{r},t)`$**$`\; = \omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1`$
+
+$`\begin{align}\quad\;\;= \big[ (\omega_{moy}&+ \Delta \omega_{12})\, t + \big(\overrightarrow{k}_{moy}+ \Delta \overrightarrow{k}_{12}\big)\cdot\overrightarrow{r}\\
+&+( \varphi_{moy} + \Delta \varphi_{12})\big]\end{align}`$
+
+$`\begin{align}
+\quad\;\,&= \big[ \big(\underbrace{\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}}_{\color{blue}{\theta_{moy}(\overrightarrow{r},t)}}\big) \\
+&\quad + \big(\underbrace{\Delta \omega_{12} t + \Delta \overrightarrow{k}_{12}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{12}}_{\color{blue}{\theta_{12}(\overrightarrow{r},t)}}\big)\big]
+\end{align}`$
+
+**$`\quad\;\;=\,\theta_{moy}(\overrightarrow{r},t)\,+\,\theta_{12}(\overrightarrow{r},t)`$**   
+<br>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;et de la même façon nous obtenons :   
+<br>
+**$`\quad\;\;\theta_2(\overrightarrow{r},t)`$**$`\; = \omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2`$   
+<br>
+$`\quad\quad \;\; = \cdots`$   
+<br>
+**$`\quad\quad\;\;=\,\theta_{moy}(\overrightarrow{r},t)\,-\,\theta_{12}(\overrightarrow{r},t)`$**  
+
+@@@@@@@@@@@@@@@
+
+* *Travaillons* les **termes $`(exp\,i\theta_1\,+\,exp\,i\theta_2)`$ et $`(exp\,i\theta_1\,-\,exp\,i\theta_2)`$** qui interviennent
+  dans l'expression de $`\underline{U}(\vec{r},t)`$ :   
+  <br>
+  **$`exp\,i\theta_1\,+\,exp\,i\theta_2`$**   
+  $`\quad\;\; =\;exp^{\,i\,(\theta_{moy}+\Delta\theta_{12})}\,+\,exp^{\,i\,(\theta_{moy}-\Delta\theta_{12})}`$   
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{exp\,(a+b)\,=\, exp\,a\;+\; exp\,b}}`$  
+  <br>
+  **$`\quad\;\; = 2\,cos\,\theta_{moy}\;cos\,\Delta\theta_{12}`$**   
+  <br>
+  de même   
+  <br>
+  **$`cos\theta_1-cos\theta_2`$**   
+  $`\quad\;\; = \;cos(\theta_{moy}+\Delta\theta_{12})-cos(\theta_{moy}-\Delta\theta_{12})`$   
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\left.\begin{align} \quad\quad &cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\\
+                     &cos(a-b)=cos(a)cos(b)+-sin(a)sin(b)\end{align}
+               \right\}\Longrightarrow\\
+        \quad\quad cos(a+b)\,-\,cos(a-b)\,=\,-\,2\,sin(a)\,sin(b)}}`$  
+  <br>
+  **$`\quad\;\; = -\,2\,sin\,\theta_{moy}\;sin\,\Delta\theta_{12}`$**
+
+
+* Nous obtenons l'**expression finale** de l'onde résultante de la *superposition de deux OPPH* quelconques :   
+  <br>
+  **$`U(\overrightarrow{r},t)`$**  
+  <br>
+  *$`\begin{array}\quad = &A_1\,cos\big(\underbrace{\omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1}_{\color{blue}{\theta_1(\vec{r},t)}}\big)\\
+  &+ \;A_2\,cos\big(\underbrace{\omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2}_{\color{blue}{\theta_2(\vec{r},t)}}\big)
+  \end{array}`$*   
+  <br>
+  $`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos\,\theta_{moy}\;cos\,\Delta\theta_{12}\\
+   &-\,2\,\Delta A_{1-2}\,\,sin\,\theta_{moy}\;sin\,\Delta\theta_{12}\end{array}`$   
+  <br>
+  **$`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
+    &\quad\times\,cos\big(\Delta \omega_{12} t + \Delta \overrightarrow{k}_{12}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{12}\big)\\
+   &-\,2\,\Delta A_{1-2}\,sin\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
+    &\quad\times\,sin\big(\Delta \omega_{12} t + \Delta \overrightarrow{k}_{12}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{12}\big)
+    \end{array}`$**
+
+<br>
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+@@@@@@@@@@@@@@@
+
+
 
 #### Retour sur quelques cas particuliers