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@@ -124,37 +124,38 @@ visible: false
   <br>
   **$`\overrightarrow{\Delta}=
    \left(\begin{array}{l}
-    dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial z^2}\\
+    \dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial z^2}\\
     \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
     \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
     \end{array}\right)`$**
 
 <br>
 
-##### Champ vectoriel et opérateurs $`div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$
+##### 2 - Champ vectoriel et opérateurs $`div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$
 
 * Un **champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$**, fonction continue et au moins une fois dérivable de l'espace,
   peut être caractérisé *en chacun de ses points* par un *scalaire divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$* et
   un *vecteur rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$*   
   <br>
-  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$** 
-  qui est un champ vectoriel.
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$* 
+  qui est un **champ scalaire**.   
   <br>
-  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$** 
-  qui est un champ vectoriel.
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$* 
+  qui est un **champ vectoriel**.
 
 <br>
 
 ##### 3 - Définition du laplacien vectoriel à partir de la divergence et du rotationnel
 
-  $`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$   
+* Le champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$ d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
+  deux fois dérivable, peut être caractérisé en chacun de ses points par : 
+   * son gradient $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$   
    <br>
-  l'expression du laplacien en coordonnées cartésienne étant :   
-  <br>
-  $`\Delta=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}`$
-
+   $`\Longrightarrow`$ nous pouvons cronstruire le 
+   **champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$**
+   qui est un champ vectoriel.
 
-* Cherchons les coordonnées cartésiennes du premier terme, $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)`$
+* Cherchons les coordonnées cartésiennes de $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)`$
 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;$`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$
 
@@ -188,8 +189,15 @@ $`\quad = \left(
 \dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
 \end{array}\right)`$
 
+* Le champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$ d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ au moins 
+  deux fois dérivable, peut être caractérisé en chacun de ses points par : 
+   * son rotationnel $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$   
+   <br>
+   $`\Longrightarrow`$ nous pouvons cronstruire le 
+   **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$**
+   qui est un champ vectoriel.
 
-* Cherchons les coordonnées cartésiennes du deuxième terme, $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$
+* Cherchons les coordonnées cartésiennes de $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$.
 
 $`\color{blue}{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=
 \left(\begin{array}{l}
@@ -241,7 +249,9 @@ $`\quad =
 \end{array}\right)`$
 
 
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; il reste simplement à combiner les résultats :
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Un **fait important** apparaît par 
+*soustraction* des composantes cartésiennes *de $`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$*
+*et de $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$*
 
 $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
 -\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$