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@@ -21,7 +21,7 @@ visible: false
   <br>
   **$`\Delta\,f-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$**
 
-* Cet opérateur laplacien scalaire **$`\Delta`$ possède une existence en soit**, 
+* Cet opérateur laplacien scalaire **$`\Delta`$ possède une existence en soi**, 
   *indépendante de son expression dans un système de coordonnées* donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
   dans un système de coordonnées donné.
 
@@ -44,12 +44,12 @@ visible: false
   <br>
   **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le *champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$* qui est un **champ vectoriel**.
 
-##### 3 - définition du laplacien scalaire à partir du gradient
+##### 3 - Définition du laplacien scalaire à partir du gradient
 
 * Le **champ de gradient $`\overrightarrow{grad}\,f`$** d'un champ scalaire $`f`$ au moins deux fois dérivable, peut être caractérisé
   *en chacun de ses points* par sa *divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$*.   
   <br>
-  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de divergence $`\overrightarrow{grad}\,f`$** qui est un champ scalaire.
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de divergence $`div\,\overrightarrow{grad}\,f`$** qui est un champ scalaire.
 
 * Cherchons l'expression de ce champ de divergence en fonction du champ f, en coordonnées cartésiennes.
    * L'expression cartésienne du gradient d'un champ $`f`$ est :   
@@ -71,7 +71,7 @@ visible: false
 
 * L'opérateur combiné $`div\,\overrightarrow{grad}`$ constitue la **définition de l'opérateur laplacien scalaire** :   
 <br>
-**$`\large{\Delta}=div\,\overrightarrow{grad}`$**
+**$`\large{\Delta}=div\;\overrightarrow{grad}`$**
 
 ##### 4 - Relations entre les propriétés locales d'un champ scalaire et sa propagation
 
@@ -94,48 +94,58 @@ visible: false
 
 ##### 1 - Opérateur laplacien vectoriel et équation d'onde d'un champ vectoriel.
 
-* Un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ se propage s'il vérifie l'équation d'onde vectorielle.
+* Un *champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ se propage* s'il vérifie l'**équation d'onde vectorielle**.
   <br>
-  L'écriture générale de cette équation utilise l'opérateur lagrangien vectoriel et s'écrit :   
+  L'écriture générale de cette équation *utilise l'opérateur lagrangien vectoriel $`\overrightarrow{\Delta}`$* et s'écrit :   
   <br>
-  $`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$
+  **$`\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$**
 
-* Cet opérateur laplacien vectoriel possède une existence en soit, indépendante de son expression dans un système
-  de coordonnées donné, de même qu'un vecteur à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
+* Cet opérateur laplacien vectoriel **$`\overrightarrow{\Delta}`$ possède une existence en soi**, 
+  *indépendante de son expression dans un système de coordonnées* donné, de même qu'un vecteur 
+  à une existence en soit, indépendante de l'expression de ses composantes
   dans un système de coordonnées donné.
 
-* Exprimée en coordonnées cartésiennes,   
-    * Le champ vectoriel s'écrit :   
+* Exprimée **en coordonnées cartésiennes**,   
+    * Le *champ vectoriel* s'écrit :   
     <br>
-    $`\overrightarrow{U}=U_x\,\overrightarrow{e_x}+U_y\,\overrightarrow{e_y}+U_z\,\overrightarrow{e_z}`$
-    * et l'équation d'onde se décompose en :   
+    *$`\overrightarrow{U}=U_x\,\overrightarrow{e_x}+U_y\,\overrightarrow{e_y}+U_z\,\overrightarrow{e_z}`$*
+    * et l'*équation d'onde vectoriel* se décompose en :   
 
-    $`\left\{\begin{array}{l}
+    *$`\left\{\begin{array}{l}
     \;\left(\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial t^2}=0\\
     \;\left(\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial t^2}=0\\    
     \;\left(\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial t^2}=0   
-    \end{array}\right.`$   
+    \end{array}\right.`$*   
     <br>
-    Chacune des composantes du champ vérifie l'équation d'onde scalaire.
+    **Chacune des composantes du champ vérifie l'équation d'onde scalaire**.
 
-* L'expression du laplacien vectoriel $`\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}`$ d'un vecteur $`\overrightarrow{U}`$ est :   
+* L'expression du laplacien vectoriel **$`\overrightarrow{\Delta}\,\overrightarrow{U}`$**
+  d'un vecteur $`\overrightarrow{U}`$ **en coordonnées cartésiennes** est :   
   <br>
-  $`\overrightarrow{\Delta}=
+  **$`\overrightarrow{\Delta}=
    \left(\begin{array}{l}
     dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_x}}{\partial z^2}\\
     \dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z^2}\\    
     \dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2   
-    \end{array}\right)`$
+    \end{array}\right)`$**
 
 <br>
 
 ##### Champ vectoriel et opérateurs $`div`$ et $`\overrightarrow{rot}`$
 
-* Un **champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$**, fonction continue et au moins une fois déribale de l'espace,
+* Un **champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$**, fonction continue et au moins une fois dérivable de l'espace,
   peut être caractérisé *en chacun de ses points* par un *scalaire divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$* et
   un *vecteur rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$*   
   <br>
-  
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de divergence $`div\,\overrightarrow{U}`$** 
+  qui est un champ vectoriel.
+  <br>
+  **$`\Longrightarrow`$** nous pouvons construire le **champ de rotationnel $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}`$** 
+  qui est un champ vectoriel.
+
+<br>
+
+##### 3 - Définition du laplacien vectoriel à partir de la divergence et du rotationnel
 
   $`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$   
   <br>