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01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.niv3/02.geometrical-optics/02.geometrical-optics-foundings/05.fermat-application/03.fermat-application-beyond/annex.fr.md

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-title: 'nouveau cours : au-delà'
-media_order: erreur_refraction_400_tr.png
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-!!!! *POINT DIFFICILE*        (contribuer, ou indiquer un point de compréhension difficile)
-!!!!
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-! *TON  DEFI*       (contribuer)
-!
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-!! *POUR  ALLER  PLUS  LOIN*       (contribuer)
-!!
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-!! *POINT CULTUREL*       (contributier)
-!!
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-!!! *MAITRISES_TU ?*
-!!! <details markdown=1>
-!!! <summary>
-!!! CHERCHE L'ERREUR : La démonstration suivante cherche un chemin stationnaire pour un rayon de lumière dans le cas ou celui-ci franchit un dioptre plan. Le résultat est faux, puisqu'il prévoit que la lumière ne peut arriver que perpendiculairement à la surface du dioptre, et ne pas dévié lors de la traversée du diotre. 
-!!!
-!!! *Suis bien le raisonnement, regarde bien les calculs, et trouve l'erreur.*
-!!! </summary>
-!!! Soient un dioptre, et 2 points A et B de l'espace de part et d'autre du dioptre. Nous cherchons la trajectoire d'un rayon lumineux passant par A puis par B, et qui traverse le dioptre en I.
-!!! * (I,x,y,z) : système orthonormé d'axes
-!!! * (I,x,y) : plan du dioptre
-!!! * (Iz) : normale au dioptre en I
-!!! * n_1: indice de réfraction du milieu où se trouve A
-!!! * n_2: indice de réfraction du milieu où se trouve B
-!!!
-!!! Entre A et I, la lumière suit le segment de droite [AI], et entre I et B le segment de droite [IB].
-!!! 
-!!! ![](erreur_refraction_400_tr.png)
-!!!
-!!! Pour établir la relation entre angle d'incidence $i_1$ et l'angle de réfraction $i_2$, cherchons à exprimer le chemin optique $\delta$ de tout parcours entre A et B en fonction de ces deux angles. En appelant AI la distance entre A et I, et IB la distance entre I et B, nous avons :
-!!!
-!!! $\cos(i_1)=\dfrac{z_A}{AI}\;\Rightarrow\;AI=\dfrac{z_A}{\cos(i_1)}$
-!!!
-!!! $\cos(i_2)=\dfrac{z_B}{IB}\;\Rightarrow\;IB=\dfrac{z_B}{\cos(i_2)}$
-!!!
-!!! Tout chemin optique entre A et B s'exprime dès lors, en fonction de $i_1$ et $i_2$ :
-!!!
-!!! $\delta=n_1\cdot\dfrac{z_A}{\cos(i_1)}+n_2\cdot\dfrac{z_B}{\cos(i_2)}$
-!!!
-!!! Tout parcours emprunté par la lumière a un chemin optique stationnaire qui vérifie donc
-!!!
-!!! $\mathrm{d}\delta=\dfrac{\partial\delta}{\partial{i_1}}\,\mathrm{d}i_1+\dfrac{\partial\delta}{\partial{i_2}}\,\mathrm{d}i_2=0$
-!!!
-!!! pour tout $\mathrm{d}i_1$ et $\mathrm{d}i_2$. Cela n'est possible que si les dérivées partielles sont elles-mêmes nulles, ce qui donne 
-!!!
-!!! $\dfrac{\partial{\delta}}{\partial{i_1}}=n_1\cdot z_A\cdot\dfrac{\sin(i_1)}{cos(i_1)^2}=0$
-!!!
-!!! $\dfrac{\partial{\delta}}{\partial{i_2}}=n_2\cdot z_B\cdot \dfrac{\sin(i_2)}{cos(i_2)^2}=0$
-!!! 
-!!! En limitant les valeurs d'angles à l'intervalle $[0;\pi/2]$, ces deux dernières équations impliqu ent
-!!!
-!!! $\sin(i_1)=0\;\;\Rightarrow\;\;i_1=0$
-!!!
-!!! $\sin(i_2)=0\;\;\Rightarrow\;\;i_2=0$
-!!!
-!!! Il semblerait que la lumière ne puisse traverser le dioptre que sous incidence normale et sans déviation ... (?)
-!!!
-!!! *S'agit-il d'une erreur de calcul ?*
-!!!
-!!! * erreur dans l'expression des longueurs AI et IB en fonction de $\cos(i_2)$ ?
-!!!
-!!! * erreur dans le calcul des dérivées partielles $\dfrac{\partial{\delta}}{\partial{i_1}}$ et $\dfrac{\partial{\delta}}{\partial{i_2}}$ ?
-!!!
-!!! * $d\delta=0$ n'implique pas $\dfrac{\partial{\delta}}{\partial{i_1}}=0$ et $\dfrac{\partial{\delta}}{\partial{i_2}}=0$ ?
-!!!
-!!! *S'agit-il d'une erreur conceptuelle ?*
-!!!
-!!! * ce cas n'appartient pas au domaine de validité du principe de Fermat.
-!!!
-!!! * l'ensemble des parcours infiniment proches pour lesquelles $\mathrm{d}\delta=0$ est mal défini.
-!!!
-!!! * les variations infinitésimales d'angles $\mathrm{d}i_1$  et $\mathrm{d}i_2$ ne sont pas indépendantes.
-!!!
-!!! <details markdown=1>
-!!! <summary>
-!!! Voir la réponse
-!!! </summary>
-!!! Il faut mettre la réponse
-!!!</details>
-!!!
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