##### Comment représenter une OPPH en notation complexe ?
* On utilise le fait que la fonction exponentielle se décompose de la façon suivante :
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$`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha + i\cdot sin \,\alpha}\quad`$**, avec *$`\large{\;i^{\,2}=-1}`$*.
* Ainsi l'**onde sinusoïdale plane progressive** peut s'écrire :
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* soit en *notation réelle* :
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1D : *$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{U(x,t)=A\cdot cos\,(\omega t - k x + \varphi)}}}`$*
3D : *$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{U(\vec{r},t)=A\cdot cos\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi)}}}`$*
* soit en **notation complexe** :
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1D : **$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{\underline{U}(x,t)}}}`$** $`\;= A\cdot \underbrace{exp\,[\,i\,(\omega t - k x + \varphi}_{\color{blue}{exp(a+b) = exp(a)\times exp(b)})\,]}`$
<br>
$`\;\quad\quad\quad\quad\quad =\underbrace{A\;e^{\,i\,\varphi}}_{\color{blue}{\underline{A}=A\; e^{\,i\,\varphi}}}\cdot exp\,[\,i\,(\omega t - kx)\,]`$
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**$`\;\quad\quad\quad\quad\quad\boldsymbol{\mathbf{\large{\,=\underline{A}\cdot e^{\,i\,(\omega t - kx)}}}}`$**
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3D : **$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{\underline{U}(\vec{r},t)=\underline{A}\cdot e^{\,i\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}}}}`$**
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avec *$`\boldsymbol{\large{\mathbf{\underline{A}=A\; e^{\,i\varphi}}}}`$ : amplitude complexe*.
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* L'**onde $`U(x,t)`$** est **réelle** et s'exprime comme la *partie réelle de l'onde complexe $`\underline{U}(x,t)`$*.
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* L'**amplitude réelle $`A`$** de l'onde s'exprime comme la *racine carrée du produit*
*de l'amplitude complexe $`\underline{A}`$ par son complexe conjugué $`\underline{A}^{\ast}`$* :
