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Update 12.temporary_ins/44.relativity/40.n4/20.general.relativity/20.framework-of-general-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/44.relativity/40.n4/20.general.relativity/20.framework-of-general-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -62,6 +62,171 @@ RÉSUMÉ
    $`\mathbf{e_{a,P}}=\displaystyle\lim_\Delta s\rightarrow 0}\dfrac{\Delta\mathbf{s}}{\Delta x^a}`$
 
 --------------------->
+
+Invariant ou intervalle
+
+$`\begin{align}
+ds^2&=c^2 dt^2- dx^2- dy^2- dz^2\\
+&=c^2 dt'^2- dx'^2- dy'^2- dz'^2\\
+\end{align}`$
+
+$`x^0=ct\;;\;x^1=x\;;\;x^2=y\;;\;x^3=z`$
+
+$`\begin{align}
+ds^2 &=(dx^0)^2 -(dx^1)^2 -(dx^2)^2 -(dx^3)^2\\
+&=(dx^0{'})^2 -(dx^1{'})^2 -(dx^2{'})^2 -(dx^3{'})^2\\
+\end{align}`$
+
+$`\begin{align}
+ds^2 &=\big(dx^{0} \big)^2 -\big(dx^1\big)^2 -\big(dx^2\big)^2 -\big(dx^3\big)^2 \\
+& \\
+&=g_{ab}\;dx^a dx^b
+\end{align}`$
+
+tenseur métrique associé aux coordonnées $`\big(x^0,\,x^1,\,x^2,\,x^3\big)`$                                           
+
+$`g_{ab}`$
+$`\;=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & -1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & -1 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & -1
+\end{pmatrix}`$
+
+
+
+
+<!--REMIS DANS RELATIVITE RESTREINTE NIVEAU "------------
+*Le vocabulaire fondamental de la relativité restreinte*
+
+L'évènement $`M`$, localisé dans un référentiel donné par ses coordonnées spatiotemporelles $`(x_M,\,y_M,\,z_M,\,t_M)`$
+d'un système de coordonnées spatiotemporelles $`(O,\,x,\,y,\,z,\,t)`$,
+joue dans l'espace-temps de la relativité le rôle du point matériel $`M`$ de la mécanique newtonnienne,
+localisé dans un référentiel donné par ses coordonnées spatiales $`(x_M(t_0),\,y_M(t_0),\,z_M(t-0))`$ à un instant $`t_0`$, 
+dans un système de coordonnées spatiales $`(O,\,x,\,y,\,z)`$ et un système de datation $`t`$. 
+
+Exemples d'évènement $`M`$
+\- existence d'un point matériel localisé par ses coordonnées $`(x_M,\,y_M,\,z_M,\,t_M)`$ 
+dans l'espace-temps.
+\- coïncidence de la présence de deux points matériels en un même point $`(x_M,\,y_M,\,z_M,\,t_M)`$ 
+de l'espace-temps.
+\- émission d'un photon par un atome passant d'un état excité à son état fondamental, en un point
+ $`(x_M,\,y_M,\,z_M,\,t_M)`$ de l'espace-temps.
+\-émission d'une particule alpha par une particule radioactive en un point
+ $`(x_M,\,y_M,\,z_M,\,t_M)`$ de l'espace-temps.
+\- ...
+
+La ligne d'univers d'un corpscule $`M`$ joue dans l'espace-temps de la relativité 
+le double rôle de la trajectoire du point $`M`$ de la mécanique classique (ensemble des
+points de l'espace parcourus par le corpuscule au cours du temps) et de son équation horaire
+(qui précise l'instant de présence du corpuscule en chaque point de sa trajectoire).
+
+L'intervalle ou l'invariant est une grandeur spatio-temporelle dont la valeur
+est invariante par changement de référentiel.
+L'intervalle ou l'invariant entre deux évènements joue dans l'espace-temps de la relativité 
+le double rôle en mécanique classique de la durée (invariante par changement de référentiel) 
+séparant les deux évènements, 
+et de la distance (invariante par changement de référentiel) entre les localisations 
+spatiales de ces deux évènements.
+
+
+*Transformations de Lorentz*
+
+Deux référentiels $`\mathscr{R}`$ et $`\mathscr{R}'`$.   
+Évènement : notion de point matériel de la mécanique newtonienne, étendu à l'espace temps. caractérisé par sa position dans l'espace et par son instant dans le temps.
+
+Dans chaque référentiel :
+* la durée entre deux évènements est mesurée à l'aide d'une horloge immobile dans le référentiel. L'horloge est basé sur un processus physique cyclique, dont un cycle définit l'unité de temps ou l'un de ses multiples ou sousmultiples.
+* la distance entre deux points de l'espace est mesurée à un même instant $`t`$ à l'aide d'une
+  règle rigide immobile dans le référentiel. La longueur de la règle rigide définit l'unité de longueur
+  ou l'un de ses multiples ou sousmultiples.
+
+Et un évenèment $`M`$ est répéré par
+* sa date $`t`$, durée $`t-t_0`$ entre l'instant $`t`$ de l'évènement $`M`$ et l'instant $`t_O`$ d'un autre évènement pris comme origine de l'axe des temps, soit $`t_O=0`$.
+* sa position, donnée par :
+    * sa distance $`OM`$, qui est la longueur entre l'évènement $`M`$ et un évènement $`O`$ pris 
+      comme origine de 3 axes $`Oz`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ choisis orthogonaux deux à deux, soit $`O=(0,\,0,\,0)`$.
+    * sa direction à partir de l'origine $`O`$, donnée par ses trois coordonnées prises sur chacun 
+      des axes, soit $`M=(x,\,y,\,z)`$.
+
+Un même évènement $`M`$ est observé dans deux référentiels différents.
+
+Ces référentiels utilisent 
+* des horloges identiques et une même unité de temps pour mesurer les durées entre deux évènements.
+* des règles rigides identiques et une même unité de longueur pour mesurer les distances entre deux évènements.
+
+Dans chacun de ces référentiels, l'évènement $`M`$ est repéré par ses coordonnées spatio-temporelles :
+* $`(x,\,y,\,z,\,t)`$ dans $`\mathscr{R}`$.     
+* $`(x',\,y',\,z,\,t')`$ dans $`\mathscr{R}'`$.     
+
+Nous pouvons choisir le système de coordonnées spatiales  $`( O,\,x,\,y,\,z)`$ et $`( O',\,x',\,y',\,z')`$ 
+tel que :
+* le mouvement de translation (uniforme rectiligne) de $`\mathscr{R}'`$ observé dans $`\mathscr{R}`$ soit selon $`x`$
+* les axes $`Ox`$ et $`O'x'`$ coïncident à l'instant $`t_0=t_0'`$ pris pour origines des temps
+dans les deux systèmes de coordonnées spatiaux-temporels $`( t,\,x,\,y,\,z)`$ et 
+$`( t',\,x',\,y',\,z')`$.
+
+transformation des coordonnées d'espace et de temps entre deux référentiels inertiels (= galiléens) cartésiens.
+Référentiel $`\mathscr{R}=(O,\,x,\,y,\,z,\,t)`$.  
+Référentiel $`\mathscr{R}'=(O',\,x',\,y',\,z',\,t')`$   
+avec $`\mathscr{R}'`$ en mouvement de translastion (uniforme rectiligne) à la vitesse
+ $`\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}}=\overrightarrow{V}`$.
+Nous pouvons choisir le système de coordonnées spatiales  $`(O,\, x,\,y,\,z)`$ et $`( O',\,x',\,y',\,z')`$ telles que le mouvement de translation (uniforme rectiligne) de $`\mathscr{R}'`$ observé dans $`\mathscr{R}`$ soit selon $`x`$
+
+alors
+
+------------------------------->
+
+
+Loi de transformation de Lorentz des positions spatio-temporelles.
+
+exprimée avec :
+* $`\beta=\dfrac{V}{c}`$ : vitesse relative (donc sans dimension) par rapport à $`c`$.   
+   $`0\le\beta\lt1`$ pour un objet matériel,   
+    $` \beta=1`$ pour la lumière dans le vide dans tout référentiel.
+   
+* $`\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=(1-\beta^2)^{-1}`$ : facteur de Lorentz.    
+   $`0\le\gamma\lt \infty`$ pour un objet matériel.
+
+$`\begin{pmatrix}
+\gamma & -\gamma\,\beta & 0 & 0 \\
+-\gamma\,\beta & \gamma & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 1
+\end{pmatrix}`$
+
+Pour des axes quelconques :
+
+$`\overrightarrow{OM}(t)=\overrightarrow{r}(t)`$
+
+Si $`\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}}=\overrightarrow{V}=V\, \overrightarrow{u_V}`$,   
+avec $`V=\Vert\overrightarrow{V}\Vert`$
+et $`\overrightarrow{u_V}=\dfrac{\overrightarrow{V}}{\Vert\overrightarrow{V}\Vert}`$.  
+
+Le vecteur position $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r}`$ peut s'écrire comme la somme de deux composantes vectorielles, l'une parallèle à $`\overrightarrow{V}`$ notée 
+$`\overrightarrow{r}_{\parallel}`$ et l'autre perpendiculaire notée $`\overrightarrow{r}_{\perp}`$ 
+
+$`\overrightarrow{r}_{\parallel}=\dfrac{\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{V}}{V}
+\,\overrightarrow{u_V}`$
+
+$`\overrightarrow{r}_{\perp}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}_{\parallel}`$
+
+$`\mathscr{T}_{Lorentz}`$
+$`\;=\begin{pmatrix}
+\gamma & -\gamma\,\beta_x & -\gamma\,\beta_y &-\gamma\,\beta_z \\
+-\gamma\,\beta_x & 1+\alpha\,\beta_x^2 & \alpha\,\beta_x\,\beta_y & \alpha\,\beta_x\,\beta_z \\
+-\gamma\,\beta_y & 1+\alpha\,\beta_y\,\beta_x & \alpha\,\beta_y^2 & \alpha\beta_y\,\beta_z \\
+-\gamma\,\beta_z & 1+\alpha\,\beta_z\,\beta_x & \alpha\,\beta_z\,\beta_y & \alpha\,\beta_z^2
+\end{pmatrix}`$
+
+avec le facteur intermédiaire $`\alpha=\dfrac{\gamma-1}{\Vert\beta\Vert^2}`$ pour simplifier l'expression des termes.
+
+*Invariant relativiste*
+équivalent de la longueur dans l'espace de la mécanique newtonienne.
+$`ds=\sqrt{c^2 dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}`$
+
+
+