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Update 12.temporary_ins/44.relativity/30.n3/10.special-relativity/20.framework-of-special-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/44.relativity/30.n3/10.special-relativity/20.framework-of-special-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -41,23 +41,30 @@ RÉSUMÉ
   *Cadre de la relativité restreinte* :   
   __La scène :__   
   Un espace-temps minskovskien,   
-  $`\Longrightarrow`$ un invariant : l'intervalle $`\mathscr{s}_{AB}`$ entre deux évènements $`A`$ et $`B`$.   
+  $`\Longrightarrow`$ un invariant : l'intervalle $`\mathscr{s}_{AB}`$ entre deux évènements $`A`$ et $`B`$.      
   $`\Longrightarrow`$ il existe des systèmes de coordonnées de Minkovsky $`(O,x,y,z,t)`$ tels que
-   par définition $`\mathscr{s}_{AB}``$$`=\sqrt{c^2(t_B-t_A)^2-(x_B-x_A)^2-(y_B-y_A)^2-(z_B-z_A)^2}`$    
+   par définition $`\mathscr{s}_{AB}`$   
+   $`=\sqrt{c^2(t_B-t_A)^2-(x_B-x_A)^2-(y_B-y_A)^2-(z_B-z_A)^2}`$    
   __Les acteurs :__   
-  \- Des évènements repérés par leurs coordonnées spatio-temporelles $`(x,y,z,t)`$,
+  \- Des évènements repérés par leurs coordonnées spatio-temporelles $`(x,y,z,t)`$,   
   \- Des corps dont les mouvements sont caractérisés par leurs lignes d'univers.   
 
+  *conséquences* :
+  $`\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2\le c^2\Delta t^2`$    
+  $`\Longrightarrow`$ c est une vitesse limite infranchissable :
+c est une constante fondamentale de la nature.   
+
   *Écriture d'un référentiel $`\mathscr{R}`$* :   
   $`\mathscr{R}(O,x,y,z,t)`$ où $`(O,x,y,z)`$ est un système de coordonnées de Minkovsky, immobile dans $`\mathscr{R}`$
  
   *Référentiel galiléen ou d'inertie* :   
   $``\Longleftrightarrow`$ un corps isolé est immobile ou animé d'un mouvement rectiligne uniforme,   
    soit (équivalent)  
-   dont la ligne d'univers représentés dans un système d'axe de Minkovski est une droite.
+   dont la ligne d'univers représentée dans un système d'axe de Minkovski est une droite.
 
   *Lois de transformation de Lorentz :   
   Soient un référentiel galiléen $`\mathscr{R}(O,x,y,z,t)`$ et un référentiel $`\mathscr{R}(O',x',y',z',t')'`$ en translation rectiligne selon $`Ox`$ et uniforme à la vitesse $`V`$ par rapport à $`\mathscr{R}`$.    
+
   $`\mathscr{R}`$ et $`\mathscr{R}'`$ ont :   
   \- une même origine des temps et même unité de mesure des temps $`\Longrightarrow\;t=t'`$    
   \- une même origine de l'espace à $`t=t'=0\;,\quad\Longrightarrow\;O=O'`$.   
@@ -65,9 +72,17 @@ RÉSUMÉ
   Alors pour un corps de position $`(x,y,z)`$ et de vitesse $`(\mathscr{v}_x,\mathscr{v}_y,\mathscr{v}_z)`$
    à tout instant $`t`$ dans $`\mathscr{R}`$ :       
   __Transformation des positions__:   
-   $`x'=x+Vt\;,\,y'=y\;,\;z'=z`$   
+  $`ct'=\gamma(ct'-\beta x')`$   
+  $`x'=\gamma(\beta c t'+ x')\;,\,y'=y\;,\;z'=z`$   
+  avec :   
+  \- $`\gamma=(1-V^2\c^2)`$ facteur de Lorentz (dilatation du temps, contraction des longueurs)   
+  \- $`\beta=V/c`$ vitesse normalisée à la vitesse $`c=1`$   
   __Transformation des vitesses__:   
-   $`\mathscr{v}_x'=\mathscr{v}_x+V\;,\; \mathscr{v}_y'=\mathscr{v}_y\;,\;\mathscr{v}_z'=\mathscr{v}_z`$   
+  $`\mathscr{v}_x'=\frac{\mathscr{v}_x - \beta c}{1-\beta \mathscr{v}_x/c}`$   
+  $`\mathscr{v}_y'=\frac{\mathscr{v}_y}{\gamma\(1-\beta \mathscr{v}_x/c}`$   
+  $`\mathscr{v}_z'=\frac{\mathscr{v}_z}{\gamma\(1-\beta \mathscr{v}_x/c}`$  
+
+     
   __Transformation des accélérations__:  
   $`a_x'=a_x\;,\;a_y'=a_y\;,\;a_z'=a_z`$