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00.brainstorming-pedagogical-teams/45.synthesis-structuring/10.math-tools/30.n3/10.brainstorming/01.p1/textbook.es.md

+---
+title: Définir les outils mathématiques de niveau 3 : proposition 1
+published: true
+routable: true
+visible: false
+lessons:
+    - slug: define-234-mathematical-tools-p1
+      order: 2
+---
+
+<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
+$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$
+
+#### Proposition 1
+
+--------------------------------------------------------
+
+#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 3
+
+--------------------------------------------------------
+
+avec une **première classification pour ordonner un peu** le brainstorming (numération, géométrie, etc).
+Elle *ne présage pas des titres de chapitres*.
+
+N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
+
+-------------------------------------------------------------
+
+
+Les *outils mathématiques de niveaux 1 et 2* **$`+`$** :
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Numération, opérations et fonction usuelles*
+
+(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
+
+* nombre imaginaire **$`i`$**   
+  Ensemble des nombres imaginaires purs *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$**    
+  Ensemble des nombres complexes $`\mathbb{C}`$ :    
+  **$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**,   
+   avec **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** et **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$**     
+  **$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$**
+
+* fonction puissance $`y^x`$ 
+* fonction exponentielle **$`e^x`$**    
+  Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$**       
+  **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$**     
+  ** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$**
+
+* **$`e^0=1 \quad , \quad`$**
+**$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$**
+**$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ...
+
+* fonction logatithme **$`log_p\,x`$**   
+  propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : **$`log_p\,xy`=log_p\,x+log_p\,y$** 
+  fonction logatithme **$`log_{10}\,x`$** en relation à la fonction puissance $`10^x`$   
+  fonction logatithme népérien **$`Log\,x=ln\,x`$** en relation à la fonction puissance $`exp(x)=e^x`$  
+
+* notations réelle et notation complexe : 
+**$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$**   
+**$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$**
+**$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$**       
+**$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$**
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  ENSEMBLES  ET  LOGIQUE
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Ensembles et logique*
+
+à faire
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  GÉOMÉTRIE  ET  COORDONNÉES
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Géométrie et coordonnées*
+
+(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
+
+
+* Règle d'*orientation de l'espace*   
+  Systèmes de coordonnées, bases et repères *directs ou indirect*
+
+* *Coordonnées, bases vectorielles et repères* associées   
+  bases et repères *orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects*
+
+* *Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques*   
+  * avec *repères et bases associés*    
+  * *éléments infinitésimaux* de longueur, de surface, de volume    
+  * expressions des *opérateurs* **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$**
+  
+* *matrice changement de base orthonormée directe* :   
+  * $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$
+  * $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$**
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  VECTEURS, OPERATEURS ET ANALYSE VECTORIELLE
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle*
+
+(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
+
+*Dans une base euclidienne (3D)*:   
+
+* Produit scalaire **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ )
+* Produit vectoriel **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ )
+* Produit mixte **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$**
+
+* Opérateurs **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** (notation $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ )
+  et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) :
+  **$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y}
+  \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$**
+
+* Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes)
+ **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** 
+ **$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$**
+
+* Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes)
+*  **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (pour les ondes)
+
+* **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, lien avec    
+  $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$
+
+* **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, lien avec    
+  $`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$
+
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+MATRICES
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Matrices*
+
+(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation
+
+* Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$**
+* Somme de matrice **$`(n,m) + (n,m)`$**
+* Produit matriciel **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$**
+* Matrice transposée d'une matrice carrée
+* Calcul matriciel
+* Déterminant d'une matrice carrée : 
+  **$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$**  
+
+  RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  FONCTIONS - CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Étude de fonctions*
+
+(CME-FR) 
+
+* Passage de la notation $`f'(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$**    
+  Passage de la notation $`f'(x)`$ à **$`\dfrac{df}{dx}`$**   
+  ...   
+  de $`f^{(n)}(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$**   
+  de $`f^{(n)}(x)`$ à **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$**   
+
+* fonction dérivée et fonction primitive.
+
+* intégrale simple 
+  * indéfinie **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$**
+  * définie **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$**
+
+* intégrale multiple (variables indépendantes)
+  *  **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$**
+  *  **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$**
+
+* différence entre :
+  *  **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$**
+  *  **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$**
+
+  RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  ÉQUATIONS
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Équations*
+
+(CME-FR) 
+
+* *Résolution de systèmes d'équations* par la *méthode du déterminant*.
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  ÉQUATIONS  DIFFERENTIELLES
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Équations*
+
+* à faire
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+AUTRES
+------------------------------------------------------------------------------->
+
+(XXX-YY)
+...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+