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00.brainstorming-pedagogical-teams/45.synthesis-structuring/10.math-tools/20.n2/10.brainstorming/01.p1/textbook.es.md

+---
+title: Définir les outils mathématiques de niveau 2 : proposition 1
+published: true
+routable: true
+visible: false
+lessons:
+    - slug: define-g12-mathematical-tools-p1
+      order: 3
+    - slug: define-234-mathematical-tools-p1
+      order: 1
+---
+
+#### Proposition 1
+
+--------------------------------------------------------
+
+#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 2
+
+--------------------------------------------------------
+
+avec une **première classification pour ordonner un peu** le brainstorming (numération, géométrie, etc).
+Elle *ne présage pas des titres de chapitres*.
+
+N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire.
+
+-------------------------------------------------------------
+
+Les *outils mathémétiques de niveau 1* **$`+`$** :
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  NUMERATION, OPERATIONS ET FONCTIONS USUELLES
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Numération, opérations et fonction usuelles*
+
+* ensembles de nombres
+  * des entiers naturels **$`\mathbb{N}`$** (et $`\mathbb{N}^*`$)
+  * des entiers relatifs **$`\mathbb{Z}`$** (et $`\mathbb{Z}^*`$)
+  * des nombres réels **$`\mathbb{R}`$** (et $`\mathbb{R}^*,\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_-, \mathbb{R}_+^*`$,...)
+  * des nombres rationnels et irrationnels ? (pas de liens directs en physique, plutôt programme math N2 ou N3?)
+
+* factorielle d'un nombre entier nature
+* fonction exponentielle **$`exp(x)=e^x`$**
+* **$`log_p\,n`$**, définie comme :   
+si $`q=p^n`$, alors $`\log_p(q)=n`$, où $`n,p,q`$ sont des entiers et $`p,q`$ positifs.   
+(besoin pour introduire des éléments de physique importants)
+
+* introduction à **$`i`$** tel que **$`i^2=-1`$** (comme artifice de calcul)
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+-----------
+(CME-FR)   Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisme :
+
+* *Fonctions trigonométriques* $`\sin`$ , $`\arcsin`$ , $`\cos`$ , $`\arcsin`$ , $`\tan`$ , $`\arctan`$
+
+* Les *relations de trigonométrie* :   
+  * **$`\sin(a+b)=\sin\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\cos\,a`$**
+  * **$`\sin(a-b)=\sin\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\cos\,a`$**
+  * **$`\cos(a+b)=\cos\,a\;\cos\,b - \sin\,b\;\sin\,a`$**
+  * **$`\cos(a-b)=\cos\,a\;\cos\,b + \sin\,b\;\sin\,a`$**   
+  et *savoir retrouver les autres*
+
+* L'identité remarquable : **$`(a+b)(a-b)=a^2-b^2`$**
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  ENSEMBLES  ET  LOGIQUE
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Ensembles et logique*
+
+(CME-FR)
+
+* *complémentaire d'un ensemble* $`A`$ dans $`E`$*, noté **$`\mathbf{\complement_E A}`$**
+
+* Utilisation de **$`\forall`$** , **$`\exists`$** , **$`\displaystyle\lim_{x\longrightarrow x_0}`$**
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  GÉOMÉTRIE  ET  COORDONNÉES
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Géométrie et coordonnées*
+
+(CME-FR)
+
+* Règles d'orientation d'un plan : *sens direct* (sens inverse des aiguilles d'une montre) 
+et *sens inverse* (sens des aiguilles d'une montre) 
+
+* Coordonnées *cartésiennes (2D et 3D)*
+  Repère et base cartésiens (2D)
+  composantes vectorielles d'un vecteur (en 2D)   
+
+* Coordonnées *polaires*  : 2D $`(\rho,\varphi)`$  et 3D $`(\rho,\varphi, z)`$
+  Savoir positionner un point
+
+* Coordonnées *sphériques* : 2D $`(\theta,\varphi)`$ et 3D $`(r,\theta,\varphi)`$   
+  difference avec longitude, latitude, altiture des coordonnées géographiques
+
+* *Projection orthogonale (2D)*, en relation avec les fonctions
+ sinus et cosinus et le produit scalaire
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+  
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  VECTEURS ET ANALYSE VECTORIELLE
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Vecteurs et analyse vectorielle*
+
+(CME-FR) 
+* *Représentation* intuitive *géométrique des vecteurs* (longueur, direction et sens)   
+   ou alors dès le niveau 1?
+
+* *Addition et soustraction géométriques de vecteurs*   
+ou alors dès le niveau 1?
+
+* composantes d'un vecteur dans une base quelconque, orthogonale, orthonormée 2D
+
+*Dans une base euclidienne (2D)*:   
+* *produit scalaire de 2 vecteurs* en relation avec l'opération de projection orthogonale sur un axe :    
+**$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \rVert \cdot \cos\theta`$**   
+* pour deux vecteurs unitaires et orthogonaux  
+**$`\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\delta_1^2`$**
+* pour deux vecteurs exprimés dans une base orthonormée   
+**$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_x\,v_x+u_y\,v_y`$**
+* Norme d'un vecteur et expression dans un base orthonormée, en relation avec Pythagore   
+**$`\lVert\overrightarrow{u}\rVert=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}$**
+
+* Expression de l'angle en radian   
+**$`\theta=\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\lVert \overrightarrow{u} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{v}\rVert }`$**
+
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  ÉTUDE DE  FONCTIONS
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Étude de fonctions*
+
+* *Fonction réelle à une variable réelle* **$`f(x)`$**
+  * Notion de *dérivée en un point* **$`f'(x_o)`$** en relation avec la notion de tangente.
+  * Fonction dérivée **$`f'(x)`$**
+
+* dérivée seconde dès ce niveau ? (méca, équilibre), ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
+
+* notion de primitive et d'intégrale simple dès ce niveau ?, ou alors seulement dans les parties "au-delà" ?
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+  ÉQUATIONS
+------------------------------------------------------------------------------->
+! *Équations*
+
+* *Équations du second degré :* **$`a\,x^2 + b\,x + c = 0`$**
+
+* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*      
+**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y = c_1 \\ a_2\,x + b_2\,y = c_2  \end{array}\right.`$**   
+*et le résoudre* (de façon non matricielle).
+
+* Savoir *poser en équations un problème qui relève du système d'équations*    
+**$`\left\{\begin{array}{c} a_1\,x + b_1\,y + c_1\,z = d_1 \\ a_2\,x + b_2\,y + c_2\,z = d_2 \\ a_3\,x + b_3\,y + c_3\,z = d_3 \end{array}\right.`$**   
+et voir que la résolution (de façon non matricielle) est simple mais fastidieuse.
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
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+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
+
+<!------------------------------------------------------------------------------
+AUTRES
+------------------------------------------------------------------------------->
+
+(XXX-YY)
+...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+---------------------
+
+(XXX-YY) ...
+
+RÉAGIR :
+...  (XXX-YY)
+
+------------------
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+
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