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@@ -203,11 +203,162 @@ Punto de vista intrínseco / Point de vue intrinsèque /  Intrinsic point of vie
 
 ![](m3p2-N4-variete-intrinsec_A_L1200.gif)
 
+ ##### Comment exprimer la variation d'un vecteur naturel lors d'un déplacement élémentaire $`\overrightarrow{ds}`$ ?
+ 
+ d'un point $`M`$ à un point $`P`$ voisin?
+ 
+ Plaçons-nous dans une variété de dimensions 2, que nous visualisons comme la surface courbe $`\mathscr{S}`$ représentée sur la figure.
+ 
+ Choisissons un système de coordonnées $`x_1, x_2`$ sur $`\mathscr{S}`$.
+ 
+ Soit deux points voisins $`M`$ et $`P`$ appartenant à $`\mathscr{S}`$. 
+ 
+ Pour décomposer, les points $`M`$ et $`P`$ sont deux points voisins sur la ligne de coordonnées $`x^2`$ dans un systèmes de coordonnées $`(O,x^1, x^2)`$. 
+
+
 
 
 simple test de visualisation ...
 
-![](test-visualisation.jpg)
+![](test-visualisation.jpg)   
+ _Refaire cette figure avec des lignes de coordonnées non orthogonales dans chacun des plans tangents_
+ 
+Soient $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_2}_M`$ les deux vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées $`(x^1, x^2)`$ au point $`M`$.
+
+Suivons le vecteur $`\overrightarrow{e_1}_M`$ dans un déplacement infinitésimale entre le point $`M`$ et le point $`P`$ voisin sur la ligne de la coordonnée $`x_2`$.
+
+Le vecteur $`\overrightarrow{e_1}_P`$ au point $`P`$ n'appartient pas à la même variété. Dans cette vision bidimensionnelle, les vecteurs $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_1}_P`$ vivent dans deux plans différents non parallèles $`\mathscr{P}_M`$ et  $`\mathscr{P}_P`$. Il ne peut y avoir aucune expression des vecteurs de base naturelle $`\overrightarrow{e_1}_M`$ et $`\overrightarrow{e_2}_M`$ en $`M`$ en fonction des vecteurs  $`\overrightarrow{e_1}_P`$ et $`\overrightarrow{e_2}_P`$ en $`P`$.
+
+Imaginons ces deux variétés $`\mathscr{P}_M`$ et  $`\mathscr{P}_P`$ comme plongées dans une même variété $`\mathscr{E}`$ de dimension 3 euclidienne. Il est dès lors possible d'exprimer les quatre vecteurs 
+$`\overrightarrow{e_1}_M`$, $`\overrightarrow{e_2}_M`$, $`\overrightarrow{e_1}_P`$ et $`\overrightarrow{e_2}_P`$ dans une même base de $`\mathscr{E}`$. En particulier pour l'exemple donné par la figure, il est possible d'exprimer le vecteur élémentaire $`d\overrightarrow{e_1}_M=\overrightarrow{e_1}_P-\overrightarrow{e_1}_M`$ dans la base choisie de $`\mathscr{E}`$, et il est possible de projeter ce vecteur élémentaire $`d\overrightarrow{e_1}_M`$ sur la variété $`\mathscr{P}_1`$
+
+Je reformaterai, réorganiserai et continuerai après. Mes déjà je rentre quelques équations liées à la figure adapté à venir.   
+Comme la figure et l'exemple pris doivent restés au plus proche de ce qui est déjà assimilé, je garde pour un vecteur l'écriture $`\overrightarrow{e}`$ avec sa flèche, au lieu de l'écriture en caractère gras  $`\mathbf{e}`$ usuelle qui sera introduite en parallèle.
+
+Soit  $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}`$ la projection de $`\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}`$ sur le plan tangent $`\mathscr{P}_M`$ à la courbe $`\mathscr{S}`$ au point $`M`$.  
+Cette projection $`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}`$ peut être décomposée sur les vecteurs de la base naturelle $`\left(\overrightarrow{e_1}_M,\overrightarrow{e_2}_M\right)`$ au point $`M`$, associée aux coordonnées $`(x_1, x_2)`$ choisies sur $`\mathscr{S}`$.
+
+00000000------------------
+
+$`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}
+=\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)\,\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=\Gamma_{12}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{12}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+de même,
+
+$`\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}
+=\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)\,\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left(\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)\,\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=\Gamma_{21}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{21}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+général, en convention d'Einstein, en tout point $`M`$ de $`\mathscr{S}`$ et avec la nouvelle convention vectorielle :
+
+**$`\left.\dfrac{\partial \,\mathbf{e_a}}{\partial x^b}\right|_{\mathscr{P}_M}=\left(\dfrac{\partial \,\mathbf{e_a}}{\partial x^b}
+\cdot\mathbf{e_c}\right)\,\mathbf{e_c}=\Gamma_{ab}^{\;c}\,\mathbf{e_c}`$**
+
+
+
+111111 ----
+
+$`\dfrac{\partial g_{12\,M}}{\partial x^2}=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)}{\partial x^2}`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\left(\Gamma_{12}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{12}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\left(\Gamma_{21}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{21}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{12}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{21}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{12}^{\;1}\;g_{12}\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;g_{22}`$
+$`\;+\;\Gamma_{21}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;g_{21}`$
+
+
+
+2222222----------------
+
+**$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{11\,M}}{\partial x^2}}`$**$`\;=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)}{\partial x^2}`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=2\times\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^2}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+2\times \left(\Gamma_{12}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{12}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+2 \times
+\left(\Gamma_{12}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right.`$
+$`\left.\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)`$
+
+**$`\mathbf{\hspace{0,8 cm}=
+2 \times
+\left(\Gamma_{12}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{12}^{\;2}\;g_{21}\right)}`$**
+
+Première permutation des indices
+
+**$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{12\,M}}{\partial x^1}}`$**$`\;=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M\right)}{\partial x^1}`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\left(\Gamma_{11}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{11}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\left(\Gamma_{21}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{21}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{11}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{21}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+
+**$`\mathbf{\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{11}^{\;1}\;g_{12}\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;g_{22}}`$
+$`\mathbf{\;+\;\Gamma_{21}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;g_{21}}`$**
+
+Deuxième permutation des indices
+
+**$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{21\,M}}{\partial x^1}}`$**$`\;=\dfrac{\partial \left(\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M\right)}{\partial x^1}`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_2}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left.\dfrac{\partial \overrightarrow{e_1}_M}{\partial x^1}\right|_{\mathscr{P}_M}\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\left(\Gamma_{21}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{21}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\left(\Gamma_{11}^{\;1}\,\overrightarrow{e_1}_M+\Gamma_{11}^{\;2}\,\overrightarrow{e_2}_M\right)\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+$`\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{21}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_1}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{11}^{\;1}\;\overrightarrow{e_1}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+$`\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;\overrightarrow{e_2}_M\cdot\overrightarrow{e_2}_M`$
+
+**$`\mathbf{\hspace{0,8 cm}=
+\Gamma_{21}^{\;1}\;g_{11}\;+\;\Gamma_{21}^{\;2}\;g_{21}}`$
+$`\mathbf{\;+\;\Gamma_{11}^{\;1}\;g_{12}\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;g_{22}}`$**
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