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Update 12.temporary_ins/71.waves/20.n2/15.interferences-two-harmonic-synchrone-waves/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/71.waves/20.n2/15.interferences-two-harmonic-synchrone-waves/20.overview/cheatsheet.fr.md

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-### Interférences à deux ondes 2
+### Interférences à deux ondes 2
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+#### Interférences produites par la superposition de deux OPPH synchrones ou cohérentes.
+
+
+##### Qu'est-ce que deux OPPH synchrones ?
+
+* **Deux OPPH** de pulsations respectives $`\omega_1`$ et $`\omega_2`$ sont **synchrones** si leurs *pulsations sont égales* :   
+  <br>
+  *$`\omega_1 = \omega_2`$*
+
+
+##### Les OPPH qui interfèrent ont une même amplitude, ne même direction et un même sens de propagation.
+
+* Les **deux OPPH** sont :
+   * *synchrones ou cohérentes* (en optique)
+   * d'*amplitudes égales*
+   * et se propagent *vers les $`x`$ croissants*.
+
+<br>
+
+-------------------
+
+**Calcul de l'onde résultante** 
+
+* En notation réelle, les deux OPPH s'écrivent :   
+  <br>
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_1(x,t) = A\cdot cos(\omega t - kx + \varphi_1)}}`$**   
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_2(x,t) = A\cdot cos(\omega t - kx + \varphi_2)}}`$**
+
+* Calcul de l'onde résultante :  
+  <br>
+  $`\color{brown}{\mathbf{U(x,t)}}\; = U_1(x,t) + U_2(x,t)`$   
+
+$`\begin{align} \quad &=A\;\big[\,cos(\underbrace{\omega t - kx}_{\color{blue}{\text{  posons }\\ \omega t - kx \,=\, \alpha}} + \varphi_1) + cos(\underbrace{\omega t - kx}_{\color{blue}{=\; \alpha}} + \varphi_1)\,\big]
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha + \underbrace{\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\varphi_1}}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha + \underbrace{\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2} - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\varphi_2}}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\alpha '}} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\underbrace{\alpha + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{nous avons posé }\\ \alpha + (\varphi_1+\varphi_2)/2\; = \;\alpha '}} - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,cos\Big(\alpha ' + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \\
+&\quad\quad\quad\quad + \,cos\Big(\alpha ' - \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,\Big]\\
+&\\
+&=A\;\big[\,\underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,-\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a+b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;-\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\\
+&\quad + \underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\,\Big]\\
+&\\
+&=2\,A\cdot cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)
+\end{align}`$   
+<br>
+$`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \cdot cos\Big(}\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}}_{\text{pulsation }\omega\text{ inchangée}}}\color{brown}{\Big)}}}`$
+
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+
+* L'*onde résultante*
+   * est **harmonique**.
+   * a la **même fréquence** $`\nu\,=\,\dfrac{\omega}{2\pi}`$ que les deux ondes initiales.
+   
+* L'**amplitude** de l'onde résultante est :   
+  <br>
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{A_{résult.} = \left| \,2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \Big) \,\right|}}`$**   
+  <br>
+  $`\quad\quad\quad=\sqrt{4\,A^2 \cdot cos^2\Big(\dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2}\Big)}`$   
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\left.\begin{align} \quad\quad &cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\\
+                     &cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\end{align}
+               \right\}\Longrightarrow\\
+        \quad\quad cos^2(a)=cos(a)cos(a)=\dfrac{1}{2}[cos(a+a)+cos(a-a)]\\
+        \quad\quad\quad\quad=\dfrac{1}{2}[1 + cos(2a)]}}`$   
+   <br>
+   $`\boldsymbol{\mathbf{\quad\quad \color{brown}{=\sqrt{2\,A^2 \cdot \big(1 + cos\,(\varphi_1 - \varphi_2)\big)}}}}`$
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+<br>
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