Update cheatsheet.fr.md

10.temporary-m3p2/50.mathematics/20.algebra-analysis/20.n2/20.trigonometry/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -169,55 +169,63 @@ avec la notion de fonction
 
 A faire
 
-! *Pour aller plus loin :* La fonction sinus en mathématique supérieure
-! 
-! Les définitions des *fonctions sinus et cosinus* ici présentées *à partir du cercle trigonométrique*
-! sont appelées les *définitions géométriques*. Très visuelles et de niveau mathématique de niveau colline,
-! ces définitions sont suffisantes pour avoir une bonne représentation mentale des fonctions sinus et cosinus et
-! ainsi que leurs propriétés. 
-!
-! Tu verras au niveau contreforts d'autres définitions des fonctions sinus et cosinus, équivalentes mais qui affinent et généralisent
-! leur définition géométrique. Ainsi, les fonctions sinus et cosinus seront chacune définies à l'aide de ce que appelleras :
+!! <details markdown=1>
+!! <summary><b>Pour aller plus loin :</b> De nouvelles définitions des fonctions
+!! sinus et cosinus, équivalentes, au niveau contrefort, et leur intérêt.</summary>
+!! 
+!! Les définitions des *fonctions sinus et cosinus* ici présentées *à partir du cercle trigonométrique*
+!! sont appelées les *définitions géométriques*. Très visuelles et de niveau mathématique de niveau colline,
+!! ces définitions sont suffisantes pour avoir une bonne représentation mentale des fonctions sinus et cosinus et
+!! ainsi que leurs propriétés. 
+!!
+!! Tu verras au niveau contreforts d'autres définitions des fonctions sinus et cosinus, équivalentes mais qui affinent et généralisent
+!! leur définition géométrique. Ainsi, les fonctions sinus et cosinus seront chacune définies à l'aide de ce que appelleras :
+!! 
+!! * une série entière, ce qui te permettras de définir ces fonctions sur tout l'ensemble 
+!! $`\mathbb{R}`$ des nombres réels en faisant abstraction
+!! du cercle géométrique. Ainsi $`\forall x \in \mathbb{R}`$ et $`n\in\mathbb{N}`$ :   
+!! <br>
+!! $`\displaystyle sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}`$,   
+!! <br>
+!! $`\displaystyle sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}`$.  
+!!
+!! * une équation différentielle avec des conditions initiales, ce qui te permettra de relier ces fonctions
+!! à des modèlisations décrivant divers phénomènes physiques (comme l'oscillateur par exemple). Ainsi :  
+!! <br>
+!! sin(x) est l'unique fonction $`f`$ vérifiant :   
+!! $`f"(x)+f(x)=0`$, avec $`f(0)=0\text{  et  }f'(0)=1`$.   
+!! <br>
+!! cos(x) est l'unique fonction $`f`$ vérifiant :   
+!! $`f"(x)+f(x)=0`$, avec $`f(0)=1\text{  et  }f'(0)=0`$. 
+!!
+!! * la fonction exponentielle et nombres complexes, te permettant ainsi de faire 
+!! des liens entre analyse complexe, séries et trigonométrie. Ainsi :   
+!! <br>
+!! $`sin(x) = \dfrac{e^{\,ix} + e^{\,-ix}}{2i}`$   
+!! <br>
+!! $`sin(x) = \dfrac{e^{\,ix} + e^{\,-ix}}{2}`$
+!! </details>
+
+
+! *Note :* définition mathématique d'une fonction
 !
-! * une série entière, ce qui te permettras de définir ces fonctions sur tout l'ensemble 
-! $`\mathbb{R}`$ des nombres réels en faisant abstraction
-! du cercle géométrique. Ainsi $`forall x \in \mathbb{R}`$ et $`n\in\mathbb{N}`$ :   
+! Une fonction f d’un ensemble E (appelé ensemble de départ ou domaine) vers un ensemble F
+! (appelé ensemble d’arrivée ou codomaine) est une relation qui à chaque élément x
+! de E associe un et un seul élément y de F :
 ! 
-! $`\displaystyle sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}•dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}`$,   
+! $`f : E \rightarrow F, x \mapsto f(x)=y`$
 !
-! $`\displaystyle sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}•dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}`$.  
+! * la fonction f est une injection si et seulement si deux éléments distincts de E ont des images distinctes dans F :   
+! <br>
+! $`f : E\rightarrow F \text{ est injective }`$   
+! $`\Leftrightarrow \forall (x_1, x_2)\in E^2, x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)`$   
 ! 
-! * une équation différentielle avec des conditions initiales, ce qui te permettra de relier ces fonctions
-! à des modèlisations décrivant divers phénomènes physiques (comme l'oscillateur par exemple). Ainsi :  
+! * la fonction f est une surjection si et seulement si tout élément de F est l'image d'au moins un élément de E :
 ! <br>
-! sin(x) est la solution unique d'une fonction qui vérifie :   
-! $`f"(x)+f(x)=0`$, avec $`f(0)=0\text{  et  }f'(0)=1`$.   
+! $`f : E\rightarrow F \text{ est surjective }`$   
+! $`\Leftrightarrow \forall y \in F, \exists x \in E, y = f(x)`$  
 ! <br>
-! $`f"(x)+f(x)=0`$, avec $`f(0)=1\text{  et  }f'(0)=0`$. 
-!
-! * la fonction exponentielle et nombres complexes, te permettant ainsi de faire 
-! des liens entre analyse complexe, séries et trigonométrie. Ainsi :   
-!
-! $`sin(x) = \dfrac{e^{\,ix} + e^{\,-ix}}{2i}`$   
-!
-! $`sin(x) = \dfrac{e^{\,ix} + e^{\,-ix}}{2}`$
-
-
-
-!! *Note :* définition mathématique d'une fonction
-!!
-!! Une fonction f d’un ensemble E (appelé ensemble de départ ou domaine) vers un ensemble F
-!! (appelé ensemble d’arrivée ou codomaine) est une relation qui à chaque élément x
-!! de E associe un et un seul élément y de F :
-!! 
-!! $`f : E \rightarrow F, x \mapsto f(x)=y`$
-!!
-!! * la fonction f est une injection si et seulement si deux éléments distincts de E ont des images distinctes dans F :   
-!! <br>
-!! $`f : E\rightarrow F \text{ est injective }`$$`\Leftrightarrow \for all (x_1, x_2)\in E^2, x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)`$   
-!! 
-!! * la fonction f est une surjection si et seulement si tout élément de F est l'image d'au moins un élément de E :
-!! * la fonction f est une bijection si et seulement si f est une injection et une surjection :
+! * la fonction f est une bijection si et seulement si f est une injection et une surjection :