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@@ -16,7 +16,38 @@ $`\mathbf{\Delta\;\overrightarrow{E}=\;\overrightarrow{grad}\big(div\;\overright
 
 Vérifions sont expression en coordonnées cartésiennes :
 
-#### Quelle combinaison est nécessaire pour montrer qu'un champ vectoriel se propage ?
+#### L'opérateur Laplacien scalaire, et la propagation d'un champ scalaire
+
+##### Propagation d'une onde réelle unidimensionnelle.
+
+* Ici, la scalaire (qui peut être un nombre réel ou complexe) est réel.
+
+$`\dfrac{\partial^2 f}{\partial x}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+
+
+##### Propagation d'une onde scalaire bidimensionnelle.
+
+En coordonnées cartésiennes, l'équation de propagation d'une onde scalaire bidimensionnelle s'écrit :
+
+$`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+
+!!! *Exemple :*   
+!!! L'onde décrit la variation d'altitude de la surface de l'eau, par rapport à la surface de l'eau non perturbée au repos.
+!!! La surface de l'eau au repos est une surface (2D) et définit un champ scalaire bidimentionnel.
+
+Mais
+
+##### Propagation d'une onde scalaire tridimensionnelle.
+
+$`\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0`$
+
+
+
+
+
+#### L'opérateur Laplacien vectoriel, et la propagation d'un champ vectoriel
+
+
 
 * Un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ se propage s'il vérifie l'équation d'onde vectorielle.
   <br>
@@ -24,8 +55,42 @@ Vérifions sont expression en coordonnées cartésiennes :
   <br>
   $`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{U}}{\partial t^2}=0`$
 
-* Cherchons les coordonnées cartésiennes du premier terme, $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)`$
+* Cherchons les coordonnées cartésiennes du premier terme, $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)`$
+
+$`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$
+
+* La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire.   
+      Le gradient d'un champ scalaire $`f`$ est le champ vectoriel, qui s'exprime en coordonnées cartésiennes :
+
+$`\overrightarrow{grad}\,f=\left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial f}{\partial x}\\
+\dfrac{\partial f}{\partial y}\\
+\dfrac{\partial f}{\partial z}
+\end{array}\right)`$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; donc :
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}}\big)`$
+$`\quad = \left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)\\
+\dfrac{\partial}{\partial y}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)\\
+\dfrac{\partial}{\partial z}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)
+\end{array}\right)`$
+
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; et nous obtenons :
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$
+$`\quad = \left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
+\end{array}\right)`$
+
 
+* Cherchons les coordonnées cartésiennes du deuxième terme, * $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)`$
 
 $`\color{blue}{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=
 \left(\begin{array}{l}
@@ -76,40 +141,6 @@ $`\quad =
 +\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial y\,\partial z} \\
 \end{array}\right)`$
 
-* Cherchons les coordonnées cartésiennes du deuxième terme, $`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)`$
-
-$`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$
-
-* La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire.   
-      Le gradient d'un champ scalaire $`f`$ est le champ vectoriel, qui s'exprime en coordonnées cartésiennes :
-
-$`\overrightarrow{grad}\,f=\left(
-\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial f}{\partial x}\\
-\dfrac{\partial f}{\partial y}\\
-\dfrac{\partial f}{\partial z}
-\end{array}\right)`$
-
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; donc :
-
-$`\overrightarrow{grad}\big(\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}}\big)`$
-$`\quad = \left(
-\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)\\
-\dfrac{\partial}{\partial y}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)\\
-\dfrac{\partial}{\partial z}\left( \color{blue}{\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}} \right)
-\end{array}\right)`$
-
-&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; et nous obtenons :
-
-$`\overrightarrow{grad}\big(div\,\overrightarrow{U}\big)`$
-$`\quad = \left(
-\begin{array}{l}
-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
-\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
-\end{array}\right)`$
-
 
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; il reste simplement à combiner les résultats :