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@@ -204,6 +204,87 @@ A faire
 
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+## <p style="font-size:70%;text-align: center;">Ligne d'univers</p>
+
+#### Element de ligne d'univers
+
+à faire
+
+![](element-of-worldline-3_L1200.jpg)
+
+<br>
+
+#### Ligne d'univers, invariant et temps propre
+
+A faire
+
+idée : lignes d'univers de 2 observateurs. 2 instants quelconques sur leurs lignes respectives
+$`t^{A}_{1}`$ et $`t^{B}_{1}`$. $`t^{A}_{1}`$ et $`t^{B}_{1}`$ n'ont aucune raison d'avoir
+la même valeur. Ils parcourent chacun une même "longueur" sur leur ligne d'univers (faut-il déjà
+parler d'invariant? oui, à introduire avant). Alors même durée propre pour chacun d'eux. Aller à 
+l'idée que le temps propre de chacun s'écoule de la même façon pour tous. Aucun mouvement ne permet
+de vivre plus longtemps par exemple.
+
+![](euclidian-space-time-worldline-proportional-proper-time_L1200.gif)
+
+<br>
+
+#### Différence entre ligne d'univers et trajectoire classique
+
+A faire
+
+idée : pour un observateur, trajectoire ensemble des positions spatiales parcourues 
+pour un corps entre deux instants. Ne précise pas à quel instant une position de la trajectoire
+est atteinte par le corps. Nécessité classique des équations horaires.
+pour un observateur, ligne d'univers ensemble des positions spatio-temporelles parcourues par un
+corps entre de l'espace-temps parcourues entre deux positions.
+
+Figure à faire
+
+observateur galiléen 2 cas, il voit corps ganiléen et corps non galiléen.
+
+<br>
+
+#### Distorsions temporelles lorsque deux lignes d'univers se croisent deux fois
+
+A faire
+
+![](euclidian-space-time-worldline-twin-paradox_L1200.gif)
+
+idée : les lignes d'univers de deux observateurs A et B , l'un galiléen (A) et l'autre non (B), 
+se croisent une première fois. Ils se retrouvent alors au même instant en une même position de
+l'espace (ou deux position très proches). Horloges identiques, il est $`t^{A}_{1}`$ pour A 
+et $`t^{B}_{1}`$ pour B. Ils en profitent pour synchroniser leurs horloges (on aura préciser l'horloge
+d'un observateur est immobile par rapport à lui) : $`t^{A}_{1} = t^{B}_{1}`$.
+Puis chaun pousuit sa ligne d'univers, A est galiléen (non éccéléré) et B non galiléen (accéléré).
+Il se croisent à nouveau en une même position de l'espace, à un instant $`t^{A}_{2}`$ pour A 
+et $`t^{B}_{2}`$ pour B. La ligne d'univers de B étant plus "longue" que celle de A, ils ne mesureront
+pas la même durée entre leurs rencontrent, $`\Delta t^{\,A}_{1\,2}=`t^{A}_{2}-`t^{A}_{1}`$ pour A 
+et $`\Delta t^{\,B}_{1\,2}=`t^{B}_{2}-`t^{B}_{1}`$ pour B. Leurs horloges synchronisées en
+$`t^{A}_{1} = t^{B}_{1}`$ n'afficheront plus la même heure : $`t^{A}_{1} < t^{B}_{1}`$.
+S'ils avaient le même âge en $`t^{A}_{1} = t^{B}_{1}`$, B accéléré à plus vieillit que A galiléen.
+
+faire lien avec paradoxe des jumeaux
+
+et à faire dans un points "pour aller plus loin" : l'effet est inversé en relativité restreinte, qui
+décrit mieux la réalité que la mécanique classique. Une première explication de pourquoi.
+
+<br>
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+#### Lignes d'univers de deux observateurs galiléens
+
+Représentation de deux observateurs galiléens, en translation l'un par rapport à
+l'autre à la vitesse V
+
+figure à faire
+
+la vitesse V équivaut à un angle $`\alpha`$ entre les lignes d'univers des deux observateurs,
+tel que $`tan \alpha = \dfrac{V}{c}`$, à faire
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+<br>
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 ## <p style="font-size:70%;text-align: center;">Contraction des longueurs, dilatation du temps, relativité de la simultanéïté</p>