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@@ -246,22 +246,50 @@ que **variables, $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ ne peuvent exi
 
 * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{E}\ne \overrightarrow{0}`$*
 * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{0}`$*
+ 
 
 
 #### Que disent les équations de Maxwell sur la conservation de la charge ?
 
+##### Loi de conservation de la charge électrique
+
+* Dans la matière, les **charges électriques** sont portées par les *électrons* et
+les *protons* des noyaux atomiques. *En physique classique*, ces particules existent, 
+et elles **ne peuvent ni surgir du vide, ni disparaître**.
+
+* Ainsi le **principe de conservation de la charge** électrique peut se résumer en une phrase :   
+<br>
+*Dans tout volume de l'espace et pendant une durée donnée, la charge électrique qui entre dans ce volume moins la charge électrique
+qui en sort est égale à la variation de la charge dans le volume.*   
+<br>
+Cela se traduit en *écriture mathématique* par l'**expression intégrale**:   
+<br>
+Pour toute surface fermée $`S`$ délimitant un volume macroscopique $`\Ltau`$,   
+<br>
+**$`\oiint_{S\leftrightarrow\Ltau}\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}+\iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial\dens}{\partial t}\cdot d\tau=0`$**
+
+* Aucune limite de taille, supérieure ou inférieure, ne limitant ce raisonnement, il *s'applique aussi
+à une surface de taille mésoscopique ou microscopique*. Ainsi la loi de conservation
+a aussi une **expression locale**, valide en tout point de l'espace, qui s'écrit :   
+<br>
+**$`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0`$**
+
+
+##### Etude des équation de Maxwell
+
 * **Partons de** la combinaison d'opérateurs remarquable, valable pour tout champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$,
    qui s'énonce     
-  *La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est toujours nulle*,   
-  et d'expression mathématique :   
+  *La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel est toujours nulle* :    
   <br>
-  $`\forall \overrightarrow{X}\big(\overrightarrow{r},t\big)\;,`$*$`\quad div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{X}\big)=0`$*.   
+  $`\forall \overrightarrow{X}\big(\overrightarrow{r},t\big)\;,`$*$`\quad \mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{X}\big)=0}`$*.   
   <br>
   et appliquons là au champ d'induction magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ :    
   <br>
   **$`div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}\big)=0`$**.
 
-* La *loi de Maxwell-Ampère* permet d'écrire :   
+* La *loi de Maxwell-Ampère*   
+  *$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$*   
+  permet d'écrire :     
   <br>
   **$`div\Big(\mu_0\,\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$**
 
@@ -269,8 +297,8 @@ que **variables, $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ ne peuvent exi
   <br>
   $`div\Big(\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
 
-* L'**équation contient déjà $`\overrightarrow{j}`$**, je cherche à 
-  *faire apparaître la loi de Maxwell-Gauss* pour **faire apparaître $`\dens`$** :   
+* L'équation contient déjà $`\overrightarrow{j}`$, je cherche à faire apparaître $`\dens`$.   
+  Pour cela, je cherche à faire apparaître $`div\,\overrightarrow{j}`$ pour ensuite utiliser la loi de maxwell-Gauss.   
   <br>
   $`div\,\overrightarrow{j} + div\Big(\epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\Big)=0`$
 
@@ -292,21 +320,21 @@ Je reconnais là la loi de conservation de la charge.
 * Dans le cadre de la *physique classique, espace et temps sont indépendants*, 
 l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :   
 <br>
-$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right) `$    
+*$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)`$*    
     * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace.
-    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.
-*$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}
-\left(div\right)`$*.   
+    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.   
+*$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\right)`$*.   
 Nous obtenons :   
 <br>
-$`div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}
-\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0`$
+**$`div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0`$**
 
-* En utilisant la *loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0}`$* 
-nous obtenons l'**équation de conservation locale de la charge** électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) :   
 <br>
-**$`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}=0`$**
 
+* En utilisant la *loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens}}{\epsilon_0}`$*   
+  <br>
+nous obtenons l'**équation de conservation locale de la charge** électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) :   
+<br>
+**$`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens}{\partial t}=0`$**
 
 
 ! *Les équations de Maxwell contiennent et impliquent la conservation de la charge électrique.*