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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -57,7 +57,7 @@ $`\quad =
 \color{blue}{\dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}}
 \right)\end{array}\right]`$
 
-      Nous obtenons au total :
+      Nous obtenons alors :
 
 $`\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)`$
 $`\quad =
@@ -80,8 +80,8 @@ $`\quad =
 
 $`\color{blue}{div\,\overrightarrow{U}=\dfrac{\partial U_x}{\partial x}+\dfrac{\partial U_y}{\partial y}+\dfrac{\partial U_z}{\partial z}}`$
 
-   * La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire.   
-     Le gradient d'un champ scalaire $`f`$ est le champ vectoriel, qui s'exprime en coordonnées cartésiennes :
+    * La divergence d'un champ vectoriel est un champ scalaire.   
+      Le gradient d'un champ scalaire $`f`$ est le champ vectoriel, qui s'exprime en coordonnées cartésiennes :
 
 $`\overrightarrow{grad}\,f=\left(
 \begin{array}{l}
@@ -111,5 +111,36 @@ $`\quad = \left(
 \end{array}\right)`$
 
 
-      il reste simplement à combiner les résultats
+      il reste simplement à combiner les résultats :
+
+$`\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}\big)`$
+$`\quad = \left(
+\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}
+\end{array}\right)`$
+$`\quad -
+\left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial y\,\partial x}
+-\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}
+-\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}
++\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial z\,\partial x} \\
+\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial z\,\partial y}
+-\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial z^2}
+-\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}
++\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial x\,\partial y} \\
+\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial x\,\partial z}
+-\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}
+-\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}
++\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial y\,\partial z} \\
+\end{array}\right)`$
+
+$`\quad = \left(\begin{array}{l}
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial x\, \partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial x \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial y \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial y \,\partial z}\\
+\dfrac{\partial^2 U_x}{\partial z \,\partial x}+\dfrac{\partial^2 U_y}{\partial z \,\partial y}+\dfrac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}\\
+\end{array}\right)`$
+