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 #### Superposition de deux OPPH
 
-(en construction)
-
-$`U_1(\overrightarrow{r},t) = A_1\,cos\big(\omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1\big)`$
+* Soient deux OPPH :   
+<br>
+$`U_1(\overrightarrow{r},t) = A_1\,cos\big(\omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1\big)`$   
+<br>
+$`U_2(\overrightarrow{r},t) = A_2\,cos\big(\omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2\big)`$   
+<br>
+telles que :   
+   * Les **amplitudes** $ A_1`$ et $`A_2`$ sont *quelconques*.
+   * Les **pulsations**  $`\omega_1`$ et $`\omega_2`$ sont *quelconques*.
+   * Les **phases à l'origine** $`\varphi_1`$ et $`\varphi_2`$ sont *quelconques*.   
+   <br>
+   * Même si les **vecteurs d'ondes** $`\overrightarrow{k}_1=\dfrac{\omega_1}{\mathscr{v}_1}`$ et $`\overrightarrow{k}_2=\dfrac{\omega_2}{\mathscr{v}_2}`$
+sont liés aux pulsations $`{\omega_1}`$ et $`{\omega_1}`$ et à la célérité de l'onde dans le milieu, un milieu dispersif peut donner lieu à 
+deux célérités différentes pour $`{\omega_1}`$ et $`{\omega_1}`$. Ainsi le cas le plus général doit considérer des vecteurs d'ondes
+*quelconques*.
 
-$`U_2(\overrightarrow{r},t) = A_2\,cos\big(\omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2\big)`$
 
-Les amplitudes $ A_1`$ et $`A_2`$ sont quelconques.
+* Pour chaque grandeur pjysique, la façon de *gérer ces valeurs indépendantes* est de les **réexprimer** en fonction de ce qu'elles ont en commun,
+une **valeur moyenne**, et de leurs **écarts respectifs** par rapport à la valeur moyenne. Ainsi :   
+   * **$`A_1 =`$**$`\; \dfrac{A_1 + A_2}{2} +  \dfrac{A_1 - A_2}{2} = `$ *$`\; A_{moy} + \Delta A_{1-2}`$*    
+     **$`A_2 =`$**$`\; \dfrac{A_1 + A_2}{2} -  \dfrac{A_1 - A_2}{2} = `$ *$`\; A_{moy} - \Delta A_{1-2}`$*   
 
-Les pulsations  $ \omega_1`$ et $`\omega_2`$ sont quelconques.
+   * **$`\omega_1 =`$**$`\; \dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2} +  \dfrac{\omega_1 - \omega_2}{2} = `$ *$`\; \omega_{moy} + \Delta \omega_{1-2}`$*   
+     **$`\omega_2 =`$**$`\; \dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2} -  \dfrac{\omega_1 - \omega_2}{2} = `$ *$`\; \omega_{moy} - \Delta \omega_{1-2}`$*  
 
-Même si les vecteurs d'ondes $`\overrightarrow{k}_1=\dfrac{\omega_1}{\mathscr{v}_1}`$ et $`\overrightarrow{k}_2=\dfrac{\omega_2}{\mathscr{v}_2}`$
-sont liés aux pulsations $`{\omega_1}`$ et $`{\omega_1}`$ et à la célérité de l'onde dans le milieu, un milieu dispersif peut donner lieu à 
-deux célérités différentes pour $`{\omega_1}`$ et $`{\omega_1}`$. Ainsi le cas le plus général doit considérer des vecteurs d'ondes
-$`$`\overrightarrow{k}_1`$ et $`$`\overrightarrow{k}_2`$ quelconques.
+   * **$`\overrightarrow{k}_1 =`$**$`\; \dfrac{\overrightarrow{k}_1 + \overrightarrow{k}_2}{2} +  \dfrac{\overrightarrow{k}_1 - \overrightarrow{k}_2}{2} = `$ *$`\; \overrightarrow{k}_{moy} + \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}`$*    
+     **$`\overrightarrow{k}_2 =`$**$`\; \dfrac{\overrightarrow{k}_1 + \overrightarrow{k}_2}{2} -  \dfrac{\overrightarrow{k}_1 - \overrightarrow{k}_2}{2} = `$ *$`\; \overrightarrow{k}_{moy} - \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}`$*   
 
-La façon de gérer ces différentes grandeurs physiques indépendantes est de les réexprimer en fonction de ce qu'elles ont en commun,
-une valeur moyenne, et leurs écarts respectifs par rapport à la valeur moyenne. Ainsi :   
+   * **$`\varphi_1 =`$**$`\; \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} +  \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} = `$ *$`\; \varphi_{moy} + \Delta \varphi_{1-2}`$*    
+     **$`\varphi_2 =`$**$`\; \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} -  \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} = `$ *$`\; \varphi_{moy} - \Delta \varphi_{1-2}`$*    
 
-**$`A_1 =`$**$`\; \dfrac{A_1 + A_2}{2} +  \dfrac{A_1 - A_2}{2} = `$ *$`\; A_{moy} + \Delta A_{1-2}`$*    
-**$`A_2 =`$**$`\; \dfrac{A_1 + A_2}{2} -  \dfrac{A_1 - A_2}{2} = `$ *$`\; A_{moy} - \Delta A_{1-2}`$*    
+* Travaillons d'abord avec les termes d'amplitudes :   
 
-**$`\omega_1 =`$**$`\; \dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2} +  \dfrac{\omega_1 - \omega_2}{2} = `$ *$`\; \omega_{moy} + \Delta \omega_{1-2}`$*   
-**$`\omega_2 =`$**$`\; \dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2} -  \dfrac{\omega_1 - \omega_2}{2} = `$ *$`\; \omega_{moy} - \Delta \omega_{1-2}`$*  
+$`U(\overrightarrow{r},t) = U_1(\overrightarrow{r},t) + U_1(\overrightarrow{r},t)`$
 
-**$`\overrightarrow{k}_1 =`$**$`\; \dfrac{\overrightarrow{k}_1 + \overrightarrow{k}_2}{2} +  \dfrac{\overrightarrow{k}_1 - \overrightarrow{k}_2}{2} = `$ *$`\; \overrightarrow{k}_{moy} + \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}`$*    
-**$`\overrightarrow{k}_2 =`$**$`\; \dfrac{\overrightarrow{k}_1 + \overrightarrow{k}_2}{2} -  \dfrac{\overrightarrow{k}_1 - \overrightarrow{k}_2}{2} = `$ *$`\; \overrightarrow{k}_{moy} - \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}`$*   
+$`\quad = A_1\,cos\big(\underbrace{\omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1}_{\color{blue}{\theta_1(\vec{r},t)}}\big)`$
+$`\;+ A_2\,cos\big(\underbrace{\omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2}_{\color{blue}{\theta_2(\vec{r},t)}}\big)`$
 
-**$`\varphi_1 =`$**$`\; \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} +  \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} = `$ *$`\; \varphi_{moy} + \Delta \varphi_{1-2}`$*    
-**$`\varphi_2 =`$**$`\; \dfrac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} -  \dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} = `$ *$`\; \varphi_{moy} - \Delta \varphi_{1-2}`$*    
+$`\quad = A_1\,cos\,\theta_1 + A_2\,cos\,\theta_2`$
 
-Travaillons d'abord avec les termes d'amplitudes :   
+$`\quad = (A_{moy}+ \Delta A_{1-2})\,cos\,\theta_1) + (A_{moy} - \Delta A_{1-2})\,cos\,\theta_2)`$
 
-$`U(\overrightarrow{r},t) = U_1(\overrightarrow{r},t) + U_1(\overrightarrow{r},t)`$
+$`\quad = A_{moy}\,(cos\,\theta_1 + cos\,\theta_2) + \Delta A_{1-2}\,(cos\theta_1 - cos\theta_2)`$
 
-$`\quad = A_1\,cos\big(\underbrace{\omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1}_{\color{blue}{\text{phase}_1(\vec{r},t)}}\big)`$
-$`\;+ A_2\,cos\big(\underbrace{\omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2}_{\color{blue}{\text{phase}_2(\vec{r},t)}}\big)`$
+* Travaillons le terme de phase $`\theta_1`$
+* 
 
-$`\quad = A_1\,cos(\text{phase}_1) + A_2\,cos(\text{phase}_2)`$
 
-$`\quad = (A_{moy}+ \Delta A_{1-2})\,cos(\text{phase}_1) + (A_{moy} - \Delta A_{1-2})\,cos(\text{phase}_2)`$
 
-$`\quad = A_{moy}\big(\text{phase}_1 + cos(\text{phase}_2\big) + \Delta A_{1-2}\big(\text{phase}_1 - cos(\text{phase}_2\big)`$