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@@ -221,14 +221,14 @@ $`(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3-R)^2=R^2`$
 Considérons deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ infiniment proches de coordonnées $`(x, y, z)`$ et
 $`(x+dx, y+dy, z+dz)`$ dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, mais situés 
 tous deux à la surface de la sphère.   
-Dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, l'invariant $`ds_{3D}`$ entre ces deux points est
+Dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, l'invariant $`ds^{3D}_{P_1P_2}`$ entre ces deux points est
 la distance euclidienne qui vérifie :
 
-$`ds_{3D}^2=dl_{P_1P_2}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$
+$`ds^{3D}_{P_1P_2}^2=dl_{P_1P_2}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$
 
 Les deux points appartiennent à la surface de la sphère, ils appartiennent à la variété 2D perçue par la fourmie mais
 celle-ci n'a pas perception d'une troisième dimension liée à l'axe $`Mz`$. L'invariant 
-$`ds_{2D}`$ entre ces deux points perçus par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées
+$`ds^{2D}_{P_1P_2}`$ entre ces deux points perçus par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées
 $`x`$ et $`y`$. L'équation (équ.1) permet d'obtenir $`z`$ en fonction de $`x`$ et de $`y`$   
 
 $`x^2+y^2+(z+R)^2=R^2`$
@@ -243,19 +243,26 @@ $`2\,x\,dx+2\,y\,dy+2\,(z+R)\,dz=0`$
 
 $`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{z+R}`$
 
-$`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{R^2-x-2-y-2}}`$
+$`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}`$
 
-L'invariant $`ds_{2D}`$ vérifie alors :
+Les deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ étant situés aussi bien dans l'espace tridimensionnel euclidien 
+que sur la surface bidimensionnelle de la sphère, et la sphère étant incluse dans l'espace, 
+les invariants $`ds^{3D}_{P_1P_2}`$ et $`ds^{2D}_{P_1P_2}`$ sont égaux et nous pouvons écrire :
 
 $`ds_{3D}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$$`\quad=dx^2+dy^2+\dfrac{(x\,dx+y\,dy)^2}{R^2-x-2-y-2}`$
 $`\quad=\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dx^2+\left(1+\dfrac{y^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
-$`\quad=\dfrac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2}dx^2+1+\dfrac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
+$`\ds_{2D}^2`$
 
+Soit in fine :
+
+$`\ds_{2D}^2=\dfrac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2}dx^2+1+\dfrac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
 $`\quad=g_{xx}\,dx^2+1+g_{yy}\,dy^2+(g_{xy}+g_{yx})\,dxdy`$
 
 
 
 
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