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@@ -59,7 +59,7 @@ dans son écriture mathémétique.
 ##### La puissance de la mathématique
 
    * Une seule relation mathématiques, $`\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$ exprime
-   l'ensemble dex propriéiés reliant la base naturelle et la base duale associée, contient en son sein
+   l'ensemble des propriétés reliant la base naturelle et la base duale associée, contient en son sein
    tout le processus de construction de la base duale, le tout en généralisant à des variétés de dimension $`n`$ quelconque.
 
 ![](base-duale-superiority-math-on-representation_L1200.gif)
@@ -68,11 +68,23 @@ dans son écriture mathémétique.
 ##### Pourquoi et quand considérer la base duale ?
 
 * La base duale est confondue avec sa base naturelle lorsque celle-ci est orthonormée.   
-(excepté en cristallographie (?) où périodicité et fréquence spatiales (?), attention ...)
+Là encore, cette propriété est contenue dans l'expression $`\overrightarrow{a^i}\cdot\overrightarrow{a_j}=\delta^i_j`$.   
+(excepté en cristallographie (?) où les unités associées aux deux bases sont différentes ($`m`$ et $`m^{-1}`$), pas le même espace... attention ...
+bien mettre cela au point)   
 
 ![](bases-duale-naturelle-egales_v2_L1200.gif)
 
-
+<!----------------------------------------------
+  * Quand cela est possible dans l'espace euclidien, on se ramène toujours à une base cartésienne (donc orthonormée)
+  car l'expression du produit scalaire y est trivial.    
+  _Exemple : dans l'étude des propriétés physiques des cristaux anisotropes, même si la base
+  de la maille cristalline n'est ni orthogonale ni normée, des cnventions nous ramènent à une
+  base cartésienne pour y exprimer les composantes des différents tenseurs décrivant les propriétés physique._
+  
+  * Cristallographie, diffraction, on doit passer dans l'espace de Fourier.
+  
+  * Là où cela est nécessaire : description et calculs dans des variétés non euclidiennes.
+-------------------------------------------------------------------------------------------->
 
 
 ##### Base duale pour décrire le réseau réciproque, vers cristallographie