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12.temporary_ins/32.sets-systems/30.n3/20.systems/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -303,7 +303,7 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
       **$`\large{\left\{\;\begin{array}{l}
       \left.\dfrac{dX_1}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\;\;C_1\;X_1(t)\;-\;D_1\;X_1(t)\,X_2(t)\\
       \\
-      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,-\;D_2\;X(t)\;+\;C_2\;X_1(t)\,X_2(t)
+      \left.\dfrac{dX_2}{dt}\right\lvert_{\,\bigt}=\,-\;D_2\;X_2(t)\;+\;C_2\;X_1(t)\,X_2(t)
       \end{array}\right.}`$**    
   <br>
       avec *$`(C_1\,,C_2\,,D_1\,,D_2)\in\mathbb{R}_+^4`$*.
@@ -422,21 +422,36 @@ L'une représente des proies et l'autre des prédateurs.
 !!! à faire.
 !!! </details>
 
-* Il existe deux états stationnaires.
-   * L'état **$`(X_1=0\,,\,X_2=0)`$** est **stationnaire**.   
+* Mathématiquement, il existe deux états stationnaires.
+   * L'état $`(X_1=0\,,\,X_2=0)`$ vérifie les conditions de stationnarité.    
+     Mais cet état n'est pas intéressant, car il correspond à l'absence de proies et de prédateurs.   
+     Le modèle décrit alors l'évolution de populations qui n'existent pas.
      <br>
-     Cet état n'est *pas intéressant*, car il correspond à l'absence de proies et de prédateurs.   
-     Le modèle décrit alors l'*évolution de populations qui n'existent pas*.
-   * L'état **$`(X_1=D_2/C_2\,,\,X_2=C_1/D_1)`$** est l'*unique cas stationnaire* intéressant.
+   * L'état **$`\mathbf{(X_1=D_2/C_2\,,\,X_2=C_1/D_1)}`$** est l'*unique cas stationnaire* intéressant.
      <br>
      *$`\left.\begin{array}{l}
       \forall t \in \mathbb{R}, \\
-      C_1(t)=\dfrac{D_2}{C_2}=C_1\\
-      C_2(t)=\dfrac{C_1}{D_1}=C_2
-      \end{array}\right\}`$
-      $`\Longrightarrow\left.\begin{array}{l}
+      X_1(t)=\dfrac{D_2}{C_2}=X_1\\
+      X_2(t)=\dfrac{C_1}{D_1}=X_2
+      \end{array}\right\}`$*
+      $`\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
+      \forall t \in \mathbb{R}, \\
+      \left.\Dfrac{dX_1}{dt}\right\vert_t=+C_1\,X_1(t)-D_1\,X_1(t)X_2(t)\\
+      \left.\Dfrac{dX_1}{dt}\right\vert_t=-D_2\,X_2(t)+C_2\,X_1(t)X_2(t)
+      \end{array}\right.`$
+      $`\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
       \forall t \in \mathbb{R}, \\
-      C_1(t)=\dfrac{D_2}{C_2}=C_1\\
+      \left.\Dfrac{dX_1}{dt}\right\vert_t=+C_1\,\dfrac{D_2}{C_2}-D_1\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}\\
+      \left.\Dfrac{dX_1}{dt}\right\vert_t=-D_2\,\dfrac{C_1}{D_1}+C_2\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}
+      \end{array}\right.`$
+      $`\Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
+      \forall t \in \mathbb{R}, \\
+      \left.\Dfrac{dX_1}{dt}\right\vert_t=+C_1\,\dfrac{D_2}{C_2}-D_1\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}\\
+      \left.\Dfrac{dX_1}{dt}\right\vert_t=-D_2\,\dfrac{C_1}{D_1}+C_2\,\dfrac{D_2}{C_2}\dfrac{C_1}{D_1}
+      \end{array}\right.`$
+      
+
+C_1(t)=\dfrac{D_2}{C_2}=C_1\\
       C_2(t)=\dfrac{C_1}{D_1}=C_2
       \end{array}\right\}`$