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...@@ -37,26 +37,27 @@ PRINCIPALES COMBINAISONS ...@@ -37,26 +37,27 @@ PRINCIPALES COMBINAISONS
* Est utilisée pour montrer qu'un champ vectoriel dérive d'un champ scalaire : * Est utilisée pour montrer qu'un champ vectoriel dérive d'un champ scalaire :
$`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\phi\,,\, \overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad}\,\phi`$ $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=0\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\phi\,,\, \overrightarrow{U}=\overrightarrow{grad}\,\phi`$
* En physique, un champ d'interaction $`\overrightarrow{U}`$ dérive d'un potentiel $`\phi`$ * En physique, un champ d'interaction $`\overrightarrow{U}`$ dérive d'un potentiel $`\phi`$
\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\phi\,,\, \overrightarrow{U}=- \overrightarrow{grad}\,\phi`$, $`Longleftrightarrow\quad\exists\phi\,,\, \overrightarrow{U}=- \overrightarrow{grad}\,\phi`$,
le signe $`-`$ permettant de définir une énergie mécanique qui se conserve. le signe $`-`$ permettant de définir une énergie mécanique qui se conserve.
* $`\mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)=0}`$ * $`\mathbf{div\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)=0}`$
--- ---
*Opérateur laplacien scalaire* *Laplacien $`\Delta\,\phi`$ d'un champ scalaire $`\phi`$*
* Définition : $`\Delta=div\big(\overrightarrow{grad}\big)`$ * Définition opérateur laplacien scalaire : $`\mathbf{\Delta=div\big(\overrightarrow{grad}\big)}`$
*
--- ---
*Définition de l'opérateur laplacien vectoriel* *Laplacien $`\Delta\,\overrightarrow{U}`$ d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$*
$`\overrightarrow{\Delta}=\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big) * Définition opérateur laplacien vectoriel :
-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)`$ <br>
$`\mathbf{\overrightarrow{\Delta}=\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{U}\big)
-\overrightarrow{rot}\big(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\big)}`$
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