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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/20.gauss-local/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -117,7 +117,29 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 
 #### Y-a-t'il des lieux où $`\overrightarrow{E}`$ est déjà totalement déterminé par les symétries et invariances ?
 
-_Téléversé dès que c'est prêt._
+_figure à joindre_
+
+**En tout point $`M\in Oz`$** :
+* $`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
+\exists P_1\mid P_1\supset Oz  \text{ , plan de symétrie} \\
+\exists P_2 \ne P_1 \mid P_2\supset Oz  \text{ , plan de symétrie}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_z\,\overrightarrow{e_z}}`$**
+
+* $`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
+P_0\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan de symétrie} \\
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+E_{\varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+
+* $`\left.\begin{array}{l} 
+\overrightarrow{E}=0\,\overrightarrow{e_{\rho}}+ 0\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+E_z\,\overrightarrow{e_z} \\
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+E_{\varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+0\,\overrightarrow{e_z}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* 
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=0\,\overrightarrow{e_{\rho}}+ 0\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+0\,\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{0}}`$** 
+
+Donc **par raisons de symétries**, le *champ électrique *est *nul en tout point de l'axe de révolution $`Oz`$* :   
+<br>
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}(\rho=0) = \overrightarrow{0}}`$**
+
 
 #### Quelle expression de la divergence de  $`\overrightarrow{E}`$ choisir ?
 
@@ -132,11 +154,9 @@ _Téléversé dès que c'est prêt._
 
 #### Qu'implique la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
-* L'étude des symétries de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :    
-**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+* L'étude des symétries de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :    **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
-* $`\Longrightarrow`$ les autres composantes de champ *$`\mathbf{E_{\varphi} \text{ et } E_z}`$ sont nulles* 
-en tout point de l'espace :   
+* $`\Longrightarrow`$ les autres composantes de champ *$`\mathbf{E_{\varphi} \text{ et } E_z}`$ sont nulles* en tout point de l'espace :
 <br>
 $`\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}+0\,\overrightarrow{e_{\varphi}}+0\,\overrightarrow{e_z}`$
   **$` \Longrightarrow\left\{
@@ -146,12 +166,7 @@ $`\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E_{\rho}\,\overrightarr
  \end{array}
  \right.`$**
  
-* Si $`\mathbf{E_{\varphi}=E_z=0}`$ en tout point de l'espace $`\mathscr{E}`$, alors 
-leur valeur nulle ne varie pas d'un point à un autre point voisin par translation 
-élémentaire $`dz`$ ou variation élémentaire d'angle $`d\varphi`$.   
-Donc *les dérivées partiellles de $`\mathbf{E_{\varphi}\text{ et }E_z}`$ par rapport 
-à $`\mathbf{z\text{ et }\varphi}`$ sont nulles*.   
-<br>
+* Si $`\mathbf{E_{\varphi}=E_z=0}`$ en tout point de l'espace $`\mathscr{E}`$, alors leur valeur nulle ne varie pas d'un point à un autre point voisin par translation élémentaire $`dz`$ ou variation élémentaire d'angle $`d\varphi`$. Donc *les dérivées partiellles de $`\mathbf{E_{\varphi}\text{ et }E_z}`$ par rapport à $`\mathbf{z\text{ et }\varphi}`$ sont nulles*.   
 $`\mathbf{\forall M \in \mathscr{E}\, , E_{\varphi}=E_z=0}`$
   **$` \Longrightarrow\left\{
 \begin{array}{l}
@@ -161,7 +176,6 @@ $`\mathbf{\forall M \in \mathscr{E}\, , E_{\varphi}=E_z=0}`$
  \right.`$**
  
 * $`\Longrightarrow`$ l'expression de *la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se simplifie* en tout point de l'espace :   
-* <br>
 **$`\mathbf{div\overrightarrow{E}}`$**
 $`\require{\cancel}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}
 +\xcancel{\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\,E_{\varphi}}{\partial\,\varphi}}
@@ -173,22 +187,48 @@ $`\require{\cancel}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\righ
 
 * L'étude des invariances de la distribution de charge implique en tout point de l'espace :   **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{E_\rho}`$** 
 
-* Dans l'espression $`\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}`$, le terme $`\rho\,E_{\rho}(\rho)`$ est une fonction de la seule coordonnée $`\rho`$. l'opérateur de dérivée partielle $`\dfrac{\partial}{\partial\,\rho}`$ peut être remplacée par l'opérateur de dérivée totale $`\dfrac{d}{d\rho}`$.
+* Dans l'espression $`\dfrac{\partial\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{\partial\,\rho}`$, le terme **$`\rho\,E_{\rho}(\rho)`$** est une **fonction de la seule coordonnée $`\rho`$**. l'opérateur de *dérivée partielle* $`\dfrac{\partial}{\partial\,\rho}`$ peut être *remplacée par* l'opérateur de *dérivée totale* $`\dfrac{d}{d\rho}`$.
+
+* $`\Longrightarrow`$  la divergence de $`\overrightarrow{E}`$ se réécrit :   
+**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}}`$**
 
-* $`\Longrightarrow`$  l'opérateur de dérivée partielle $`\dfrac{\partial}{\partial\,\rho}`$ 
-peut être remplacée par l'opérateur de dérivée totale $`\dfrac{d}{d\rho}`$, et la divergence
-$`\overrightarrow{E}`$ de se réécrit :   
+#### Comment remonter à l'expression de $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+* $`div\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}`$ permet l'*écriture de la différentiel $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$* de la fonction $`\rho\,E_{\rho}`$ sous la forme :   
 <br>
-**$`\mathbf{div\overrightarrow{E}=\dfrac{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}{d\rho}}`$**
+**$`\mathbf{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho\,div\overrightarrow{E}\cdot d\rho}`$**
 
-#### Comment calculer $`\overrightarrow{E} ?`$
+* L'*intégration de $`d\left(\rho\,E_{\rho}\right)`$ entre $`\rho=0`$ et $`\rho_M`$*, $`M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)`$ étant un point quelconque de l'espace donne :   
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)-0\times E_{\rho}(0)}`$**
 
-à terminer
+* **par raisons de symétries**, *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ est nul sur l'axe $`\mathbf{Oz}`$*,     
+$`\overrightarrow{E}(\rho=0) = \overrightarrow{0} \Longrightarrow 0 \times E_{\rho}(0)=0`$,    
+(il suffisait de montrer que le champ garde une valeur finie en $`\rho=0`$)  
+<br>
+$`\quad\Longrightarrow`$ **$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**
 
+* Au final, **en tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,,\varphi_M\,, z_M)}`$**,    
 <br>
-$`\Longrightarrow`$ *différentes distributions de charge sont étudiées* dans la suite.
+**$`\left\{\begin{array}{l}
+\mathbf{\rho_M=0\Longrightarrow \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}} \\
+\mathbf{\displaystyle\rho_M\gt 0 \Longrightarrow \overrightarrow{E}=\dfrac{1}{\rho_M}\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}}
+\end{array}\right.`$**
+
+#### Comment faire le lien avec la distribution de charges puis en déduire $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
+* Le *théorème de Gauss local* nous dit qu'alors, **en tout point de l'espace** cette différentielle est égale à la densité volumique de charge $`\dens^{3D}`$ en ce point divisée par la constante diélectrique $`\epsilon_0`$ :   
 <br>
+$`\left.\begin{array}{l}
+div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0}\\
+d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\rho\,div\overrightarrow{E}\cdot d\rho
+\end{array}\right\}`$$`\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{d\left(\rho\,E_{\rho}\right)=\dfrac{\rho\,\dens^{3D}}{\epsilon_0}\cdot d\rho}`$**
+
+À terminer
+
+
+-------------------------------
 
 
 <br>
@@ -202,14 +242,57 @@ $`\Longrightarrow`$ *différentes distributions de charge sont étudiées* dans
 \rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
+en vrac, à modifier et terminer.
+
 * Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
 
-<!--Cela peu paraître inutile car évident pour les professeurs, mais leurs cerveaux ont eu des années pour intégrer cela. La non conscience qu'il faille considérer différents cas selon la position du point M pour le calcul de $`Q_{int}`$  (que cela soit par manque de visualisation ou sous l'effet du stress d'un examen) est une cause non négligeable d'erreurs. D'où la volonté ici d'emphaser ce point en parlant de sous-espaces.--->
+*  L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
+*  **2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
+
+**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
+(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\le R}`$** :    
+donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :   
+<br>
+
+**$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**     
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\hspace{2.6cm}=\int_{\rho=0}^{\rho_M}\dfrac{\rho\,\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,d\rho}`$**   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\int_{\rho=0}^{\rho_M}\rho\,d\rho`$    
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,\bigg[ \dfrac{\rho^2}{2} \bigg]_0^{\rho_M}`$   
+<br>
+$`\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{\rho_M^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$   
+<br>
+
+<br>
+$`\forall 0\lt\rho_M\le R, \rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{\rho_M^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$
+$`\Longrightarrow E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{\rho_M\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$   
+
+
+<br>
+$`\left.\begin{array}{l}
+E_{\rho}(\rho_M=0)=0 \\
+\forall 0\lt\rho_M\le R, E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{\rho_M\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+$`\forall M\in\mathscr{E}_1,  E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{\rho_M\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$
+
+<br>
+Au final :   
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{\rho_M\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_M\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4-v3_L1200.jpg)   
-_figure temporaire à réviser._
 
 
 <br>