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Update 12.temporary_ins/44.relativity/40.n4/20.general.relativity/20.framework-of-general-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/44.relativity/40.n4/20.general.relativity/20.framework-of-general-relativity/20.overview/cheatsheet.fr.md

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-Loi de transformation de Lorentz des positions spatio-temporelles.
 
-exprimée avec :
-* $`\beta=\dfrac{V}{c}`$ : vitesse relative (donc sans dimension) par rapport à $`c`$.   
-   $`0\le\beta\lt1`$ pour un objet matériel,   
-    $` \beta=1`$ pour la lumière dans le vide dans tout référentiel.
-   
-* $`\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=(1-\beta^2)^{-1}`$ : facteur de Lorentz.    
-   $`0\le\gamma\lt \infty`$ pour un objet matériel.
-
-$`\begin{pmatrix}
-\gamma & -\gamma\,\beta & 0 & 0 \\
--\gamma\,\beta & \gamma & 0 & 0 \\
-0 & 0 & 1 & 0 \\
-0 & 0 & 0 & 1
-\end{pmatrix}`$
-
-Pour des axes quelconques :
-
-$`\overrightarrow{OM}(t)=\overrightarrow{r}(t)`$
-
-Si $`\overrightarrow{V}_{\mathscr{R}'/\mathscr{R}}=\overrightarrow{V}=V\, \overrightarrow{u_V}`$,   
-avec $`V=\Vert\overrightarrow{V}\Vert`$
-et $`\overrightarrow{u_V}=\dfrac{\overrightarrow{V}}{\Vert\overrightarrow{V}\Vert}`$.  
-
-Le vecteur position $`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{r}`$ peut s'écrire comme la somme de deux composantes vectorielles, l'une parallèle à $`\overrightarrow{V}`$ notée 
-$`\overrightarrow{r}_{\parallel}`$ et l'autre perpendiculaire notée $`\overrightarrow{r}_{\perp}`$ 
-
-$`\overrightarrow{r}_{\parallel}=\dfrac{\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{V}}{V}
-\,\overrightarrow{u_V}`$
-
-$`\overrightarrow{r}_{\perp}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}_{\parallel}`$
-
-$`\mathscr{T}_{Lorentz}`$
-$`\;=\begin{pmatrix}
-\gamma & -\gamma\,\beta_x & -\gamma\,\beta_y &-\gamma\,\beta_z \\
--\gamma\,\beta_x & 1+\alpha\,\beta_x^2 & \alpha\,\beta_x\,\beta_y & \alpha\,\beta_x\,\beta_z \\
--\gamma\,\beta_y & 1+\alpha\,\beta_y\,\beta_x & \alpha\,\beta_y^2 & \alpha\beta_y\,\beta_z \\
--\gamma\,\beta_z & 1+\alpha\,\beta_z\,\beta_x & \alpha\,\beta_z\,\beta_y & \alpha\,\beta_z^2
-\end{pmatrix}`$
-
-avec le facteur intermédiaire $`\alpha=\dfrac{\gamma-1}{\Vert\beta\Vert^2}`$ pour simplifier l'expression des termes.
-
-*Invariant relativiste*
-équivalent de la longueur dans l'espace de la mécanique newtonienne.
-$`ds=\sqrt{c^2 dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}`$