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Update 12.temporary_ins/71.waves/30.n3/25.interferences-by-wavefront-division/20.overview/cheatsheet.fr.md

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@@ -42,5 +42,86 @@ lessons:
 
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-### Interférences par division du front d'onde 3
+Interférences par division du front d'onde 3
+(ce titre est trop limite)
+
+
+
+### Interférences de deux ondes harmoniques progressives,<br>
+synchrones (ondes mécaniques) ou cohérentes (optique)
+
+
+**Calcul de l'onde résultante** *en notation complexe*
+
+* Une **onde harmonique réelle $`U_1`$** s'écrit comme la *partie réelle de l'onde harmonique complexe $`\underline{U_1}`$*.   
+  <br>
+  $`\begin{align} U_1&(x,t) = A\cdot cos(\omega t - kx + \varphi_1)\\
+     &\\
+     &= \mathscr{Re}\big[A\cdot \big(cos(\omega t - kx + \varphi_1)\\
+     &\quad\quad\quad\quad + i\;sin(\omega t - kx + \varphi_1)\big)\big]\\
+     &\\
+     &= \mathscr{Re}\big[A\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx + \varphi_1)} \big]\\
+     &\\
+     &= \mathscr{Re}\big[\underline{U_1}(x,t)\big] \end{align}`$
+
+* Le deux ondes harmoniques qui interfèrent, d'écriture réelle :   
+   <br>
+     $`U_1(x,t) = A\cdot cos(\omega t - kx + \varphi_1)`$   
+     $`U_2(x,t) = A\cdot cos(\omega t - kx + \varphi_2)`$   
+   <br>
+   s'écrivent en notation complexe :   
+   <br>
+     **$`\boldsymbol{\mathbf{\underline{U_1}(x,t) = A\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx + \varphi_1)}}}`$**    
+     **$`\boldsymbol{\mathbf{\underline{U_2}(x,t) = A\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx + \varphi_2)}}}`$**   
+   <br>
+
+<!---------------------
+   soit encore :   
+   <br>
+     $`\begin{align}\underline{U_1}(x,t) &= \underline{A_1}\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx)}\\
+       &\quad\quad\text{avec }\underline{A_1} = A_1\,e^{\,i\;\varphi_1}\end{align}`$.  
+     <br>
+     $`\begin{align}\underline{U_2}(x,t) &= \underline{A_2}\cdot e^{\,i\;(\omega t - kx)}\\
+       &\quad\quad\text{avec }\underline{A_2} = A_2\,e^{\,i\;\varphi_2}\end{align}`$.  
+     <br>
+    ou $`\underline{A_2}`$ et $`\underline{A_2}`$ sont les amplitudes complexes des deux ondes.
+---------------------------->
+  
+* Calcul de l'onde complexe résultante :  
+  <br>
+  **$`\mathbf{\underline{U}(x,t)}`$**$`\; = \underline{U_1}(x,t) + \underline{U_2}(x,t)`$    
+  <br>
+  $`\quad =A\;\big[ \,e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx \,+ \,\varphi_1)} + e^{\,i\;(\omega t\, - \,kx \,+ \,\varphi_2)}\,\big]`$     
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{mettons en commun les termes qui peuvent l'être}}}`$   
+  <br>
+  $`\quad =A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}`$
+  $`\cdot\big(\,e^{\,i\varphi_1}\,+\,e^{\,i\varphi_1}\big)`$   
+  <br>
+  $`\quad =A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}`$
+  $`\cdot\Big(\,e^{\,i\big(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\;+\;\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\big)}`$
+  $`\,+\,e^{\,i\;\big(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\;-\;\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\big)}\Big)`$   
+   <br>
+   $`\color{blue}{\scriptsize{\quad \text{utilisons } exp\,(a+b)\;=\; exp\,(a)\;\times\; exp\,(b)}}`$  
+   $`\color{blue}{\scriptsize{\quad\text{et regroupons encore les termes communs.}}}`$   
+   <br>
+   $`\quad = A\;e^{\,i\,(\omega t\,-\, kx)}\,e^{\,i\,\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\right)}`$
+   $`\cdot\Big(
+\,e^{\,i\big(\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\big)}
+\,+\,
+e^{\,-\,i\;\big(\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\big)}
+\Big)`$
+   <br>
+   $`\color{blue}{\scriptsize{\quad \text{utilisons} \quad exp\,(i\,a)\,+\,exp\,(-\,i\,a)\;=\;2\,cos\,a}}`$  
+   <br>
+   $`\quad = 2\,A\;e^{\,i\;(\omega t\,-\, kx)}\,e^{\,i\,\left(\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\right)}`$
+   $`\cdot \,cos\left(\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)`$   
+  <br>
+   $`\quad = 2\,A\;cos\left(\frac{\varphi1-\varphi2}{2}\right)\;e^{\,i\,\left(\omega t\,-\, kx\,+\,\frac{\varphi1 + \varphi2}{2}\right)}`$   
+   <br>
+  L'onde réelle est donc :  
+  <br>
+ **$`\mathbf{\underline{U}(x,t)}`$**   
+  $`\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \cdot cos\Big(}\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}}_{\text{pulsation }\omega\text{ inchangée}}}\color{brown}{\Big)}}}`$
+