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* **Théorème fondamental** qui intervient dans *tous les domaines de la physique*. * **Théorème fondamental** qui intervient dans *tous les domaines de la physique*.
Il précise que : Il précise que :
* **toute fonction périodique $`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ peut s'exprimer comme une *somme discrète* * **toute fonction périodique $`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ de fréquence $`\nu`$ peut s'exprimer comme une *somme discrète*
*d'ondes sinusoïdales* de différentes fréquences et phases à l'origine. *d'ondes sinusoïdales* de fréquences multiples de $`\nu`$ et de différentes phases à l'origine.
* en notation réelle : * en notation réelle :
$`\displaystyle f(t) = f_0(t) + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\cos\,(2\pi\nu\,t\,+\,\phi_n)`$ $`\displaystyle f(t) = f_0(t) + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\cos\,(2\pi\,n\nu\,t\,+\,\phi_n)`$
* en notation complexe : * en notation complexe :
$`\displaystyle f(t) = f_0(t) + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\exp\,(i\,2\pi\nu\,t\,+\,\phi_n)`$ $`\displaystyle f(t) = f_0(t) + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\exp\,(i\,2\pi\,n\nu\,t\,+\,\phi_n)`$
* **$`F_n`$** est l'*amplitude de la composante de fréquence $`n\nu`$* de la fonction $`f(t)`$
*
* **toute onde non périodique$`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ peut s'exprimer comme une * **toute onde non périodique$`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ de fréquence $`\nu`$ peut s'exprimer comme une
*somme intégrale d'ondes sinusoïdales* de différentes fréquences et phases à l'origine. *somme intégrale d'ondes sinusoïdales* de différentes fréquences et phases à l'origine.
* en notation complexe : * en notation complexe :
$`\begin{align}\displaystyle f(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} F(\nu)\,\exp\big(i\,2\pi\nu\,t\,+\,\phi(\nu)\big) \,d\nu \\ $`\begin{align}\displaystyle f(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} F(\nu)\,\exp\big(i\,2\pi\nu\,t\,+\,\phi(\nu)\big) \,d\nu \\
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&\quad\quad\quad\quad\quad\text{ avec }\underline{F(\nu)} = F(\nu)\,e^{\,i\,2\pi\nu t} &\quad\quad\quad\quad\quad\text{ avec }\underline{F(\nu)} = F(\nu)\,e^{\,i\,2\pi\nu t}
\end{align}`$ \end{align}`$
* * $`F(\nu)`$ est l'amplitude de la composante de fréquence $`\
* **$`\mathbf{(1)}`$** : sous réserve de quelques restrictions peu contraignantes en physique. * **$`\mathbf{(1)}`$** : sous réserve de quelques restrictions peu contraignantes en physique.
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