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@@ -1014,9 +1014,118 @@ de la différence d'amplitude entre les deux ondes.
 Si_ $`A_1`$ et $`A_2`$ _sont les amplitude des deux ondes, le calcul montre que l'amplitude de l'onde résultante 
 est alors_ $`A=|A_1 - A_2|`$.
 
+##### L'onde résultante est-elle harmonique ?
 
+* Une fonction harmonique de pulsation $`\omega`$, d'amplitude $`A`$ et de phase 
+à l'origine $`\varphi^0`$ s'écrit :   
+<br>
+$`U't)=A\,cos(\omega t + \varphi^0)`$. 
+
+* Si $`U(t)`$ est une telle fonction harmonique, alors :
+$`A\,cos(\omega t + \varphi^0)`$
+$`\hspace{1.4cm}= A_1\;cos(\omega t + \varphi_1^0) + A_2\;cos(\omega t + \varphi_2^0)`$.   (Eq1)
+<br>
+Sous cette forme, il n'est pas immédiat de dire qu'il existe $`A`$ et $`\varphi^0`$ 
+qui vérifient cette égalité.   
+<br>
+Il faudrait réécrire les deux membres de l'équation sous une même forme afin que, 
+par identification des termes équivalents, des expressions de $`A`$ et $`\varphi^0`$ 
+en fonction de $`A_1`$, $`A_2`$, $`\varphi_1^0`$ et $`\varphi_2^0`$ puissent être 
+trouvées, validant ainsi leur existence.
+
+* Une piste est de décomposer les termes en $`cos(\omega t + \varphi^0)`$, 
+$`cos(\omega t + \varphi_1^0)`$ et $`cos(\omega t + \varphi_2^0)`$, pour faire apparaître
+ce qu'ils ont en commun, le facteur de phase $`\omega t`$, au sein de fonctions 
+trigonométriques.   
+<br>
+Pour cela, utilise la relation de trigonométrie :
+$`cos(a+b)=cos(a)\,cos(b)-sin(a)\,sin(b)`$
+<br> et pour raccourcir les expressions que tu vas trouver, pose l'écriture 
+$`cos(\theta) = c\;\theta`$ et $`sin(\theta) = s\;\theta`$.   
+<br>
+L'équation (eq1) se réécrit alors :   
+<br>
+$`A\,[\,c\,\omega t\,c(\varphi^0-s\,\omega t\,s(\varphi^0]`$
+$`\hspace{1.4cm}= A_1\,[\,c\,\omega t\,c(\varphi_1^0-s\,\omega t\,s(\varphi_1^0]
++A_2\,[\,c\,\omega t\,c(\varphi_2^0-s\,\omega t\,s(\varphi_2^0]`$.  
+<br>
+Dans chaque membre de l'équation, regroupe les termes proportionnels à 
+$`c\,\omega t`$ et ceux proportionnels à $`s\,\omega t`$.
+<br>
+$`A\,[\,c\,\omega t\,c(\varphi^0-s\,\omega t\,s(\varphi^0]`$
+$`\hspace{1.4cm}= c\,\omega t\,(\,A_1\,c(\varphi_1^0+A_2\,c(\varphi_2^0\,)
+-s\,\omega t\,(\,A_2\,s(\varphi_1^0+A_2\,s\,varphi_2^0\,)`$.   
+<br>
+L'identification des termes équivalents apparaît alors possible :   
+<br>
+$`A\,c\,\varphi^0 = A_1\,c\varphi_1^0 + A_2\,c\varphi_2^0`$
+$`A\,s\,\varphi^0 = A_1\,s\varphi_1^0 + A_2\,s\varphi_2^0`$.   
+<br>
+Il te reste alors à trouver l'expression de $`A`$ et de $`\varphi^0`$.   
+
+* $`A`$ se calcule alors en utilisant l'identité $`(c\,\varphi)^2 + (s\,\varphi)^2 = 1`$.   
+Pour simplifier encore l'écriture, tu peux utiliser les fonctions $`cos^2`$ et $`sin^2`$ 
+qui vérifient pour tout $`\theta`$ :   
+$`cos^2(\theta) = [cos(\theta)]^2`$ et $`sin^2(\theta) = [sin(\theta)]^2`$,   
+Ainsi dans ton écriture réduite remplace 
+$`(c\,\theta)^2 = c^2\,\theta`$ et $`(s\,\theta)^2 = s^2\,\theta`$.  
+Tu obtiens ainsi :   
+<br>
+$`A^2=A_1^2\,c^2\,\arphi_1^0 +A_2^2\,c^2\,\arphi_2^0\,)^2 + 2\,A_1\,A_2\,c\,\arphi_1^0\,c\,\arphi_2^0`$
+$`\hspace{1.2cm} +A_1^2\,s^2\,\arphi_1^0 +A_2^2\,s^2\,\arphi_2^0\,)^2 + 2\,A_1\,A_2\,s\,\arphi_1^0\,s\,\arphi_2^0`$   
+<br>
+$`\hspace{1.2cm} =A_1^2\,(\,c^2\,\arphi_1^0 +s^2\,\arphi_1^0)
++ A_2^2\,(\,c^2\,\arphi_2^0 +s^2\,\arphi_2^0)`$
+$`\hspace{1.2cm} + 2\,A_1\,A_2\,(\,c\,\arphi_1^0\,c\,\arphi_2^0 + s\,\arphi_1^0\,s\,\arphi_2^0\,)`$.  
+<br>
+$`\hspace{1.2cm} =A_1^2\,+ A_2^2\,+ 2\,A_1\,A_2\,(\,c(\,\arphi_1^0 -\arphi_2^0)`$.  
+<br>
+L'amplitude étant toujours par définition un nombre réel positif, tu obtiens au 
+final l'expression de $`A`$ :   
+<br>
+$`A=\sqrt{A_1^2\,+ A_2^2\,+ 2\,A_1\,A_2\,(\,c(\,\arphi_1^0 -\arphi_2^0)}`$,
+<br>
+Soit en écriture non réduite :   
+<br>
+**$`\boldsymbol\mathbf{A=\sqrt{A_1^2\,+ A_2^2\,+ 2\,A_1\,A_2\,(\,cos (\,\arphi_1^0 -\arphi_2^0)}}}`$**
+
+* Pour $`\varphi`$, tu connais en fonction de $`A_1`$, $`A_2`$, $`\varphi_1^0`$ et $`\varphi_2^0`$ 
+les expressions de $`A\,s\,\varphi^0`$ et $`A\,c\,\varphi^0`$.    
+<br>
+Il te sera donc facile de calculer l'expression de $`tan(\varphi^0)=\dfrac{sin(\varphi^0)}{cos(\varphi^0)}`$ 
+pour en déduite l'expression de $`\varphi_0`$ car par définition $`arctan(tan(\varphi^0)=\varphi_0`$.   
+<br>
+Le calcul donne :   
+<br>
+$`tan\,\varphi^0 = \dfrac{s\,\varphi}{\,c\varphi}=\dfrac{A\,s\,\varphi}{A\,\,c\varphi}`$
+$`\hspace{1.4cm} = \dfrac{A_1\,s\varphi_1^0 + A_2\,s\varphi_2^0}{A_1\,c\varphi_1^0 + A_2\,c\varphi_2^0}`$   
+<br>
+Soit au final en écriture non réduite :
+<br>
+**$`\boldsymbol\mathbf{\varphi^0 = arctan\left[\dfrac{A_1\,sin\,(\varphi_1^0) + A_2\,sin\,(\varphi_2^0)}{A_1\,cos\,(\varphi_1^0) + A_2\,cos\,(\varphi_2^0)}\right]}}`$**.   
+<br>
+Tu as ainsi démontré un fait important :   
+<br>
+FAIRE UN ENCADRÉ RÉCAPTITULATIF, coloré, comme une image.
+
+<br>
+
+##### À quelles conditions l'onde résultante est-elle nulle ?
+
+* L'onde résultante est nulle si son amplitude égale zéro : $`A=0`$.   
+  <br>
+ Donc l'onde résultante est nulle si l'égalité suivante est vérifiée :   
+ <br>
+$`\sqrt{A_1^2\,+ A_2^2\,+ 2\,A_1\,A_2\,(\,c(\,\varphi_1^0 -\varphi_2^0)}=0`$
+<br>
+Il n'est de premier abord par évident de dire si cette équation n'est vérifiée que
+pour $`A_1=A_2`$ et $`|\varphi_1^0-\varphi_2^0|=\pi`$, ou si il existe une combinaison
+d'amplitudes $`A_1\ne A_2`$ et de phases à l'origine $`|\varphi_1^0-\varphi_2^0|\ne\pi`$ 
+qui, en se compensant, annule l'amplitude $`A`$ de l'onde résultante.   
+<br>
+Ici est étudié la superposition de deux ondes harmoniques, donc les amplitudes de 
+chacune est non nulle : $`A_1\ne 0`$ et $`A_2\ne 0`$.   
 
-##### Comment mener le calcul ?
 
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