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12.temporary_ins/07.geometry-coordinates-prop2/40.n4/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -875,11 +875,13 @@ $`\mathbf{\;+\;\Gamma_{11}^{\;1}\;g_{12}\;+\;\Gamma_{11}^{\;2}\;g_{22}}`$**
 
 limité aux espaces de Riemann...
 
-vecteur $`\mathbf{v}`$ en composantes contravariantes 
+Dérivée 
 
-$`\large{\mathbf{v}=v^a\,\mathbf{e_a}}`$
+Champ vectoriel $`\mathbf{v}`$ en composantes contravariantes défini sur toute la variété :
 
-dérivée partielle covariante
+$`\Large{\mathbf{v}=v^a\,\mathbf{e_a}}`$
+
+Dérivée partielle de $`\mathbf{v}`$ par rapport à la coordonnée contravariante $`x^b`$ :
 
 
 $`\begin{align}
@@ -890,9 +892,26 @@ $`\begin{align}
 &=(\partial_b\,v^a)\,\mathbf{e_a}+\underbrace{v^a\,\Gamma_{ab}^{\;c}\,\mathbf{e_c}}_{\color{brown}{
 \begin{array}{c}\text{a et c muets} \,\Longrightarrow \\ \text{interchangeables}\end{array}}}\\
 \\
-&\Large{\color{blue}{=\bigg(\partial_b\,v^a + v^a\,\Gamma_{cb}^{\;a}\bigg)\,\mathbf{e_a}}}
+&\Large{\color{blue}{=\bigg(\partial_b\,v^a + v^c\,\Gamma_{cb}^{\;a}\bigg)\,\mathbf{e_a}}}
 \end{align}`$
 
+La dérivée covariante par rapport à la coordonnée contravariante $`x^b`$, noté $`\nabla_b`$, est définie par :    
+
+$`\color{brown}{\Large{\nabla_b\,v^a = \partial_b\,v^a + v^a\,\Gamma_{cb}^{\;a}}}`$
+
+Distinction et relation entre   
+    $`\partial_b`$, dérivée partielle par rapport à la coordonnée contravariante $`x^b`$,   
+    et    
+    $`\nabla_b\,v^a`$, dérivée covariante de la composantes contravariante $`v^a`$ :   
+
+$`\Large{\color{blue}{\partial_b\mathbf{v}}=(\nabla_b\,v^a)\,\mathbf{e_a}}`$
+
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