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12.temporary_ins/07.geometry-coordinates-prop2/40.n4/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -405,7 +405,57 @@ $`\Longrightarrow`$ en tout point de la variété *sont connues ou calculables*
     * les coefficients *$`\mathbf{g_{ab}}`$* de la métrique associée aux coordonnées $`x^a`$ et $`x^b`$,
     * les dérivées partielles *$`\mathbf{\dfrac{\partial \,g_{ab}}{\partial x^c}}`$* de cette métrique,
 
-* **sans torsion** *$`\mathbf{\Longrightarrow\;g_{ab}=g_{ba}}`$*,
+
+* **$`\mathbf{\large g_{ab}=g_{ba}}`$**    
+<br>
+En effet, quelques soient le système de coordonnées et en tout point M, la métrique associée à ces coordonnées peut être choisie symétrique :
+    * Toute **métrique non symétrique** (NS) **$`\mathbf{g_{ab}^{NS}}`$** permet la *définition de deux métriques* :   
+*$`\mathbf{g_{ab}^{S}}=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$*, et    
+*$`\mathbf{g_{ab}^{AS}}=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$*    
+<br>
+    * la métrique *$`\mathbf{g_{ab}^{S}}`$* est *symétrique* (S) :   
+      $`\mathbf{g_{ab}^{S}-g_{ba}^{S}}`$
+      $`=\left(\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}\right)-\left(\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}\right)`$   
+      $`\hspace{0,8 cm}=\require{cancel}\color{brown}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}
+      }}+
+      \color{blue}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}
+      }}`$*$`\mathbf{=0}`$*   
+      
+      **$`\Longrightarrow\mathbf{g_{ab}^{S}=g_{ba}^{S}}`$**   
+       
+     et la métrique *$`\mathbf{g_{ab}^{AS}}`$* est *anti-symétrique* (AS) :  
+      $`\mathbf{g_{ab}^{AS}+g_{ba}^{AS}}`$
+      $`=\left(\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}\right)+\left(\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}\right)`$   
+      $`\hspace{0,8 cm}=\require{cancel}\color{brown}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}
+      }}+
+      \color{blue}{
+      \xcancel{
+      \dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}
+      }}`$*$`\mathbf{=0}`$*   
+      
+      **$`\Longrightarrow\mathbf{g_{ab}^{AS} = -\,g_{ba}^{AS}}`$**   
+
+    * Toute métrique non symétrique (NS) $`\mathbf{g_{ab}^{NS}}`$ *égale la somme de  sa composante symétrique $`\mathbf{g_{ab}^{S}}`$ et de sa composante anti-symétrique  $`\mathbf{g_{ab}^{AS}}`$* :   
+**$`\mathbf{g_{ab}^{S}+g_{ab}^{AS}}`$**$`\;=\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}-\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}`$   
+$`\hspace{1,6 cm}=\require{cancel}\color{brown}{\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}}\color{blue}{+\xcancel{\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}}}\color{brown}{+\dfrac{g_{ab}^{NS}}{2}}\color{blue}{-\xcancel{\dfrac{g_{ba}^{NS}}{2}}}`$    
+**$`\mathbf{\hspace{1,6 cm}=g_{ab}^{NS}}`$**    
+
+   * La métrique associée à un système de coordonnées détermine en chaque point $`M`$ l'invariant élémentaire $`ds`$ : 
+   $`ds^2_M=g_{ab\,M}\,dx^a\,dx^b`$.   
+   Or seule la composante symétrique de la métrique contribue à déterminer $`ds`$, la composante anti-symétrique n'y participe pas :   
+   $`ds^2_M=g_{ab\,M}\,dx^a\,dx^b = `$. 
+   
+   
+   * Par choix, *toute métrique considérée sera symétrique* :         
+   *$`\Longrightarrow\mathbf{\;g_{ab}=g_{ba}}`$*,
+
+
 
 
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