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@@ -239,10 +239,10 @@ le *plus petit volume observable* à l'échelle considérée. À moins de travai
 à l'échelle atomique, ces volumes qualifiés d'élémentaires se touchent, et donc
 les "particules" sont **jointives**.    
 <br>
-La *perturbation* est alors décrite par une **fonction mathématique $`\phi`$ continue** 
+La *perturbation* est alors décrite par une **fonction mathématique $`U`$ continue** 
 dans l'espace et le temps :   
 <br>
-$`\large\phi = \;`$**$`\large\boldsymbol{\mathbf{\phi\,(\,x,\,y,\,z,\,t\,)}}`$**   
+$`\large U = \;`$**$`\large\boldsymbol{\mathbf{U\,(\,x,\,y,\,z,\,t\,)}}`$**   
 <br>
 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;où $`(x,y,z)`$ sont des coordonnées spatiales.
 
@@ -276,7 +276,7 @@ _figures a, b, c : Exemples d'onde unidimensionnelle._
   Un *système adapté de coordonnées* spatiales permet alors de repérer tout
   point sur la ligne avec **seulement une coordonnée**. La fonction prend alors la forme :   
   <br>
-  $`\large\phi = \;`$**$`\large\boldsymbol{\mathbf{\phi\,(\,x,\,t\,)}}`$**
+  $`\large U = \;`$**$`\large\boldsymbol{\mathbf{U\,(\,x,\,t\,)}}`$**
 
 <br>
 ##### Onde bidimensionnelle
@@ -295,7 +295,7 @@ _figures d, e, f, g : exemples d'onde bidimensionnelle._
   Un *système adapté de coordonnées* spatiales permet alors de repérer tout
   point de la surface avec **seulement deux coordonnées**. La fonction prend alors la forme :   
   <br>
-  $`\large\phi = \;`$**$`\large\boldsymbol{\mathbf{\phi\,(\,x,\,y,\,t\,)}}`$**
+  $`\large U = \;`$**$`\large\boldsymbol{\mathbf{U\,(\,x,\,y,\,t\,)}}`$**
 
 <br>
 
@@ -306,14 +306,14 @@ _figures d, e, f, g : exemples d'onde bidimensionnelle._
 * La *perturbation* d'une onde mécanique correspond, en chaque point de l'espace, 
   à un **déplacement** de matière par rapport à sa position d'équilibre. Ce déplacement 
   peut être décrit par :
-   * une *fonction scalaire $`\phi`$* qui donne une distance ou **longueur**.
-   * une *fonction vectorielle $`\vec{\phi}`$* qui donne un vecteur avec une **norme** 
+   * une *fonction scalaire $`U`$* qui donne une distance ou **longueur**.
+   * une *fonction vectorielle $`\vec{U}`$* qui donne un vecteur avec une **norme** 
      représentant la **longueur** et une **direction** indiquant le sens du déplacement.
 
 * L'aspect oscillatoire du déplacement par rapport à l'équilibre peut entraîner des 
   variations de **densité volumique** dans le milieu de propagation _(comme pour le son dans l'air)_.
   Dans ce cas :
-    *la fonction $`\phi`$* est scalaire et représente une **densité volumique**.
+    *la fonction $`U`$* est scalaire et représente une **densité volumique**.
 
 * D'*autres grandeurs physiques* peuvent être utilisées si elles permettent la *mesure de l'onde*.
 
@@ -376,6 +376,145 @@ figures en attente
 
 <br>
 
+
+#### Qu'est-ce qu'une Onde Sinusoîdale ?
+
+!!!!! *Terminologie :*
+!!!!!
+!!!!! sont *équivalentes* les expressions suivantes :   
+!!!!! * *onde sinusoïdale*   
+!!!!! * *onde harmonique*   
+!!!!! et ans un milieu homogène et isotrope, plutôt réservé aux ondes électromagnétiques (et donc lumineuses) :   
+!!!!! * *onde monochromatique*
+
+##### Point de vue de la source ou d'un capteur.
+
+* La *source* ou le *capteur* d'une onde est *localisé en un point*
+donné de l'espace, l'**onde** est alors représentée alors par une simple **fonction dépendant du temps : $`U(t)`$**.
+
+* L'**onde sinusoîdale** est une onde dont la *dépendance temporelle* est une **fonction sinusoïdale**;
+
+* Mathématiquement les fonctions **sinus et cosinus** possèdent le *même profil* sinusoïdale, mais *décalé d'un quart de période*.  
+  En effet $`\forall \theta \in \mathbb{R}`$ :   
+  <br>
+  **$`sin\big(\theta + \dfrac{\pi}{2}\big)`$** 
+   $`\,= sin \theta\,cos\dfrac{\pi}{2} + sin\dfrac{\pi}{2} \, cos \theta
+   =  sin \theta \times 0 \,+\, 1\times cos \theta`$
+   **$`\,= cos \theta`$**   
+  <br>
+  figure à faire
+   <br>
+   Ainsi la représentation d'une **onde sinuoïdale** est *soit une fonction sinus, soit par une fonction cosinus*.   
+   <br>
+   Choisis par exemple la fonction cosinus. 
+   L'**écriture générale** d'une onde sinusoïdale est :   
+   <br>
+   **$`\boldsymbol{\mathbf{\large{ U(t) = A\cdot cos(\omega t + \varphi_0)}}}\quad`$**, avec :
+   * *$`\mathbf{U(t)}`$* : **élongation** à l'instant $`t`$
+   * *$`\mathbf{A}`$* : **amplitude** = élongation maximum
+   * *$`\mathbf{\omega}`$* : **pulsation** de l'onde
+   * *$`\boldsymbol{\varphi_0}}`$* : **phase à $`\mathbf{t=0}`$**
+   * *$`\boldsymbol{\mathbf{\omega t - \varphi_0}}`$* : **phase** à l'instant $`t`$
+   <br>
+   
+
+
+  $`\large{U(t) = A
+
+* Une **onde harmonique** est la décomposition de l'onde en un *plus petit motif qui se répète* de façon jointive.   
+ 
+$`
+     
+  *  Une **OPPH** se propageant *en direction et sens* d'un *vecteur unitaire $`\vec{n}`$* 
+     s'écrit :  
+     <br>
+     **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{U(\vec{r},t) = A \cdot \cos(\, \omega t\;\mathbf{-}\;\vec{k}\cdot\vec{r}  + \varphi)}}}`$**,   
+     <br>
+     avec *$`\mathbf{\vec{k} = k\,\vec{n}}`$* et :   
+     * *$`\mathbf{U(\vec{r}, t)}`$* : **élongation** en $`\vec{r}`$ et $`t`$
+     * *$`\mathbf{A}`$* : **amplitude** = élongation maximum
+     * *$`\boldsymbol{\mathbf{\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi}}`$* : **phase** en $`\vec{r}`$ et $`t`$
+     * *$`\boldsymbol{\mathbf{\varphi}}`$* : **phase à l'origine**,   
+       à l'origine du système de coordonnées, $`\vec{r}=\vec{0}`$, et à l'instant $`t=0`$ origine de l'axe des temps.   
+     <br>
+  * **Propriété fondamentale** de l'onde : propriété *temporelle*, décrite par différentes *grandeurs physiques équivalentes* qui sont :   
+     * **$`\mathbf{T}`$** la *période* temporelle, d'unité S.I. **$`(s)`$**.
+     * **$`\boldsymbol{\mathbf{\nu}}`$** la *fréquence* temporelle, d'unité S.I. **$`(Hz = s^{-1})`$**
+     * **$`\boldsymbol{\mathbf{\omega}}`$** la *pulsation* temporelle, d'unité S.I. **$`(rad\,s^{-1})`$**
+     <br>
+     telles que :   
+     <br>
+     **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{\omega = 2\pi\,\nu = \dfrac{2\pi}{T}}}}`$**   
+     <br>
+  * **propriété du milieu** vis à vis de l'onde :   
+     * **$`\boldsymbol{\mathscr{v}}`$** la **célérité** ou *vitesse de propagation* de 
+       l'onde dans le milieu, d'unité S.I. **$`(m\,s^{-1})`$**
+
+     * Souvent, la *célérité* **$`\boldsymbol{\mathbf{\mathscr{v}(\nu)}}`$** *dépend de la fréquence* 
+       temporelle $`\mathscr{\nu}`$ de l'onde. Le **milieu** est alors dit **dispersif**.    
+       <br>
+       Le milieu est dit non dispersif dans le cas contraire.   
+       <br>
+       En général, un milieu est dispersif, mais il peut être non dispersif dans un
+       domaine de fréquence d'intérêt.   
+       <br>
+       
+      
+  * **Propriété de l'onde dépendante du milieu** de propagation, propriété *spatiale*, décrite 
+   par différentes *grandeurs physiques équivalentes* qui sont :   
+   * **$`\boldsymbol{\mathbf{\lambda}}`$** la *longueur d'onde*   
+     ou périodicité spatiale dans la direction de la propagation, d'unité S.I. **$`(m)`$**
+   * **$`\mathbf{\overrightarrow{k}}`$** le *vecteur d'onde* qui s'étend en direction et sens de la propagation.   
+   * **k** le *nombre d'onde* ou norme du vecteur d'onde, d'unité S.I. **$`(rad\,m^{-1})`$**   
+   <br>
+   telles que :   
+   **$`\mathbf{\vec{k}=k \,\vec{n}}`$** où *$`\mathbf{\vec{n}}`$* 
+   est le *vecteur unitaire* pointant en *direction et sens de propagation* de l'onde.   
+   <br>
+   **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{k = \dfrac{2\pi}{\lambda}}}}`$**
+     
+
+  * *Relations entre les propriétés* temporelles, spatiales et du milieu :   
+    <br>
+    **$`\large{\boldsymbol{\mathbf{k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{\mathscr{v} T} = \dfrac{2\pi\,\nu}{T} = \dfrac{\omega}{\mathscr{v}}}}}`$**   
+    <br>
+    !!!! *Attention* 
+    !!!!
+    !!!! Parfois dans la littérature, le terme *nombre d'onde* est défini par $`k = 1\,/\,\lambda`$.    
+    !!!! Il diffère d'un facteur $`2\pi`$ de la définition ici donnée.   
+  <br>
+  * Cas d'une *onde unidimensionnelle* :    
+    <br>
+    **$`\boldsymbol{\mathbf{U(\vec{r}, t) = A \cdot cos(\omega t - kx  + \varphi)}}`$**
+
+  * Une OPPH peut aussi s'écrire en utilisant la fonction sinus. Nous avons alors, pour une :   
+    OPPH 1D :   
+    $`U(\vec{r}, t) = A\cdot \sin(\omega t  - kx  + \varphi)`$   
+    OPPH 2D ou 3D :   
+    $`U(\vec{r}, t) = A \cdot \sin(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}  + \varphi)`$   
+
+<br>
+
+##### Les notations utilisant la fonction sinus ou la fonction cosinus sont-elles équivalentes?
+
+* Fonctions **sinus et cosinus** représentent *une même fonction, déphasée de $`\pi/2`$*:   
+  <br>
+  *$`\boldsymbol{\mathbf{sin (\varphi) = cos  (\varphi - \pi/2)}}`$*.
+
+
+*  $`\Longrightarrow`$ Les écritures d'une OPPH avec une fonction sinus ou une fonction cosinus sont équivalentes.   
+   <br>
+**$`\mathbf{U(x,t)=A\cdot cos\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi)}`$**
+$`\quad = A\cdot cos \Big(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}  + \underbrace{ \varphi + \dfrac{\pi}{2}}_{\color{blue}{=\;\varphi'}} - \dfrac{\pi}{2}\Big)`$
+$`\quad = A\cdot 
+\;\underbrace{cos \Big[\,\Big(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}  + \varphi'\Big) - \dfrac{\pi}{2}}_{\color{blue}{cos(a-\pi/2)\\\;=cos(a)\,cos(\pi/2)+sin(a)\,sin(\pi/2)\\=\;sin(a)}}\Big]`$
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\quad=A\cdot sin\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi')}}`$**   
+  $`\quad\quad\quad \text{avec } \varphi'=\varphi + \dfrac{\pi}{2})`$   
+
+---------------
+
+<br>
+
 #### Qu'est-ce qu'une onde périodique?
 
 * Le **milieu** considéré est en général *homogène et isotrope*.