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@@ -69,8 +69,6 @@ GRADIENT  D'UN  CHAMP SCALAIRE<br>_" du champ scalaire au champ vectoriel "_
    Coordonnées sphériques :   
    $`\overrightarrow{grad}\,V=\dfrac{\partial \phi}{\partial r}\,\overrightarrow{e_r}+\dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \theta}\,\overrightarrow{e_{\theta}}+\dfrac{1}{r\,sin\,\theta}\,\dfrac{\partial \phi}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
  
- 
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   *Champ de gradient d'un champ scalaire* :  
   
   L'ensemble des vecteurs gradients en tout point de l'espace est un champ vectoriel, appelé champ de gradient
@@ -152,10 +150,27 @@ _une représentation des températures constatées ou prévues au niveau du sol.
 3. Les **lignes de niveaux** (2D) ou **surfaces de niveaux** (3D) sont des ensembles continus de points de l'espace 
 *caractérisés par une même valeur de champ*.
 
+ *Mathématiquement*, un champ scalaire $`\phi`$ défini **sur l'espace euclidien** classique (dimension 3) **muni de coordonnées cartésiennes $`(x\,,y\,,z)`$** , s'écrit :
+ 
+ * lorsque la valeur scalaire est réelle :   
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{R}\, x \,\longmapsto\,\Phi(x)`$
+ * lorsque la valmeur scalaire est complexe :   
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{C}\, x \,\longmapsto\,\Phi(x)`$
+
+! Á tout champ scalaire tu pourras associer un champ de gradient.
+ 
+
 
 #### Qu'est-ce qu'un champ vectoriel ?
 
+ *Mathématiquement*, un champ scalaire $`\overrightarrow{X}`$ défini **sur l'espace euclidien** classique (dimension 3) **muni de coordonnées cartésiennes $`(x\,,y\,,z)`$** , s'écrit :
+ 
+ $`\Phi\quad : \mathbb{R}^3\,\longrightarrow\,\mathbb{R}^3\, (x\,,y\,,z) \,\longmapsto\,(X_x\,,X_y\,,X_y)`$
 
+!!!! *Attention :    
+!!!! Tu ne pourras pas* toujours *considérer qu'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est le gradient d'un chmp scalaire*.   
+ 
+ 
 #### Qu'est-ce qu'un champ uniforme, ou au contraire non-uniforme ?