Update cheatsheet.fr.md

12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/20.causes-stationary-magnetic-field/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -225,7 +225,9 @@ $`\overrightarrow{dB}_M\quad=\quad\mu_0\,\overrightarrow{dH}_M`$
 * Nous devons décomposer le vecteur $`\overrightarrow{e_d}`$ en fonction des vecteurs de la base cylindrique choisie, ce qui donne :<br>
 $`\quad\overrightarrow{e_d}=\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}-\sin\alpha\cdot\overrightarrow{e_z}\quad`$
 
-* $`\overrightarrow{e_z}\wedge \overrightarrow{e_d}\quad=\quad\overrightarrow{e_z}\wedge(\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}-\sin\alpha\cdot\overrightarrow{e_z})`$$`\quad=\quad \cos\alpha\cdot(\overrightarrow{e_z}\wedge\overrightarrow{e_{\rho}})-\sin\alpha\cdot(\overrightarrow{e_z}\wedge\overrightarrow{e_z})`$$`\quad=\quad\cos\alpha\cdot(\overrightarrow{e_z}\wedge\overrightarrow{e_{\rho}})\quad=\quad\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+* $`\overrightarrow{e_z}\wedge \overrightarrow{e_d}\quad=\quad\overrightarrow{e_z}\wedge(\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}-\sin\alpha\cdot\overrightarrow{e_z})`$
+* $`\quad=\quad \cos\alpha\cdot(\overrightarrow{e_z}\wedge\overrightarrow{e_{\rho}})-\sin\alpha\cdot(\overrightarrow{e_z}\wedge\overrightarrow{e_z})`$
+* $`\quad=\quad\cos\alpha\cdot(\overrightarrow{e_z}\wedge\overrightarrow{e_{\rho}})\quad=\quad\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
 
 *  Nous obtenons alors :<br>
 <br>**$`\mathbf{\overrightarrow{dH}_M=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz}{d^2}\cdot\cos\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}\quad`$**,   
@@ -268,7 +270,9 @@ $`\quad\quad=\rho\cdot \dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\r
   * $`\rho=d \cdot \cos\alpha\quad`$**$`\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\rho^2}`$**
 
 * Exprimé seulement en fonction de$`\alpha`$, le champ magnétique élémentaire s'écrit :<br>
-<br>**$`\overrightarrow{dH}_M`$**$`\;=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz}{d^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{\rho\cdot d\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\rho^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**
+<br>**$`\overrightarrow{dH}_M`$**$`\;=\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{dz}{d^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{\rho\cdot d\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\dfrac{\cos^2\alpha}{\rho^2}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+**$`\quad=\quad\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot\cos\alpha\cdot d\alpha\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$**
 
 * Le fil étant rectiligne, il s'inscrit dans un plan $`\mathcal{P}`$ contenant le fil lui-même est le point $`M`$. Dès lors, un observateur au point $`M`$ peut quantifier par un angle $`\hat{A}`$ le champ sous lequel il voit le fil.<br>
 <br>Un fil infini vu depuis tout point $`M`$ est vu sous un angle $`\hat{A}=2\pi`$ qui correspond aux valeurs limites $`\alpha_1=-\dfrac{\pi}{2}`$ et $`\alpha_2=+\dfrac{\pi}{2}`$. Il est nécessaire ici de considérer l'angle $`\alpha`$ en valeur algébrique. Tout élément de courant $`I\cdot dz_P`$ du fil est observé dans une direction du plan $`\mathcal{P}`$ caractérisée par son angle $`\alpha_P\in\, ]-\infty\,,+\infty\,[`$ 
@@ -282,7 +286,9 @@ $`\quad\quad=\rho\cdot \dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\r
 
 
 * Par intégration, l'expression du champ magnétique créé par un fil infini en tout point de l'espace (à l'exception des points situés sur le fil lui-même) est :<br>
-<br>$`\displaystyle \overrightarrow{H}=\int_{-\pi / 2}^{+ \pi / 2} \dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \cos\alpha \cdot d\alpha \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \left[ \sin\alpha \right]_{-\pi / 2}^{+\pi / 2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot [1-(-1)] \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}= \dfrac{I}{2\pi\rho} \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+<br>$`\displaystyle \overrightarrow{H}=\int_{-\pi / 2}^{+ \pi / 2} \dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \cos\alpha \cdot d\alpha \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot \left[ \sin\alpha \right]_{-\pi / 2}^{+\pi / 2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
+$`=\dfrac{I}{4\pi\rho}\cdot [1-(-1)] \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}= \dfrac{I}{2\pi\rho} \cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
 
 ##### Expression du champ magnétique total