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12.temporary_ins/08.grad-div-rot/70.combinaisons-of-operators/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -9,21 +9,30 @@ visible: false
 
 Le Laplacien vectoriel s'écrit, en fonction des opérateurs $`\overrightarrow{grad}`$, $`div`$ et opérateurs $`\overrightarrow{rot}`$ :
 
-$`\large{mathbf{\Delta\;\overrightarrow{E}=\;\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)
--\ overrightarrow{rot}\big(-\ overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}}}`$
+$`\large{\mathbf{\Delta\;\overrightarrow{E}=\;\overrightarrow{grad}\big(div\;\overrightarrow{E}\big)
+-\overrightarrow{rot}\big(-\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}}}`$
 
 ---ok
 
 Vérifions sont expression en coordonnées cartésiennes :
 
+#### Quelle combinaison est nécessaire pour montrer qu'un champ vectoriel se propage ?
+
+* Un champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$ se propage s'il vérifie l'équation d'onde vectorielle.
+  <br>
+  L'écriture générale de cette équation utilise l'opérateur lagrangien vecoriel et s'écrit :   
+  <br>
+  $`\Delta\overrightarrow{U}-\dfrac{1}{\mathscr{v}^2}\dfrax{\partial U^2}{\partial t^2}`$
+
+
+
 $`\color{blue}{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=
-\begin{array}{l}\left(
+\left(\begin{array}{l}
 \dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}\\
 \dfrac{\partial E_x}{\partial z}-\dfrac{\partial E_z}{\partial x}\\
 \dfrac{\partial E_y}{\partial x}-\dfrac{\partial E_x}{\partial y}
-\right)\end{array}}`$
-
-$`\overrightarrow{rot}\big(-\ overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=
+\end{array}\right)}
+\overrightarrow{rot}\big(-\ overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=
 \begin{array}{l}\left[
 dfrac{\partial}{\partial y}\left(
 \color{blue}{\dfrac{\partial E_y}{\partial x}-\dfrac{\partial E_x}{\partial y}}
@@ -42,13 +51,12 @@ dfrac{\partial}{\partial y}\left(
 \right)
 -\dfrac{\partial}{\partial y}\left(
 \color{blue}{\dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}}
-\right)
-\end{array}\right]`$
+\right)\end{array}\right]`$
 
 ---ok
 
 $`\color{blue}{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=
-\begin{array}{l}\left(
+\left(\begin{array}{l}
 \dfrac{\partial^2 E_y}{\partial y\,\partial x}
 -\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}
 -\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}
@@ -61,5 +69,5 @@ $`\color{blue}{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=
 -\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}
 -\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}
 +\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial y\,\partial z} \\
-\right)\end{array}}`$
+\end{array}\right)}`$