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10.temporary-m3p2/16.waves/20.n2/10.concept-of-wave-and-wave-phenomena-2/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -817,11 +817,6 @@ et propagation des zéros](https://m3p2.com/fr/temporary-m3p2/waves/images-sound
 
 C'est le **point de vue d'un capteur**, localisé *en un point* de l'espace*
 
-
-<br>
-
-#### *Interférences de 2 ondes harmoniques de même fréquence*<br>**aspect spatial**
-
 C'est le **point de vue d'un super-observateur**, qui aurait une connaissance instantanée
  de la valeur d'un champ *en tout point* de l'espace
 
@@ -905,23 +900,43 @@ _l'interférence entre ces deux ondes est destructive_
  <br>
  Tu obtiens alors :   
  <br>
- **$`\mathbf{ U(x,t)}`$**
- $`\quad = A\;\left[\,cos\Big(\alpha_{moyen} + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big) + \,cos\Big(\alpha_{moyen} - \dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\,\right]`$   
+ **$`\mathbf{ U(x,t)}`$**   
+ <br>
+ $`\quad = A\,cos\Big(\alpha_{moyen} + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big) + A\,cos\Big(\alpha_{moyen} - \dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)`$   
  <br>
  $`\begin{align}
  \quad &= A\;\left[\,cos(\alpha_{moyen})\,cos\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\,-\,sin(\alpha_{moyen})\,sin\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\right] \\
  \\
- &\quad\quad\quad + \left[\,cos(\alpha_{moyen})\,cos\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha_{moyen})\,sin\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\right]
- \end{align}`$
-
-&\quad + \underbrace{cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha ')\,sin\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{\text{car   }cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b}}\big)\,\right]\\
-&\\
-&=2\,A\cdot cos(\alpha ')\,cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big)
-\end{align}`$   
-
-  
-==================
+ &\quad\quad + A\;\left[\,cos(\alpha_{moyen})\,cos\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\,+\,sin(\alpha_{moyen})\,sin\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)\right]
+ \end{align}`$   
+ <br>
+ **$`\boldsymbol{\mathbf{
+ \quad 2A\,cos(\alpha_{moyen})\,cos\Big(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\Big)
+ }}`$**   
+ <br>
+ et en remplaçant $`\alpha_{moyen}`$ et $`\Delta\varphi}{2}`$ par les expressions de départ, tu obtiens :   
+ <br>
+**$`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\Big) \cdot cos\Big(}\color{blue}{\underbrace{\color{brown}{\omega t - kx + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}}}_{\text{pulsation }\omega\text{ inchangée}}}\color{brown}{\Big)}}}`$**
+ 
+* Ainsi, l'*onde résultante*
+   * est **harmonique**.
+   * a la **même fréquence** $`\nu\,=\,\dfrac{\omega}{2\pi}`$ que les deux ondes initiales.
+   
+* L'**amplitude** de l'onde résultante est :   
+  <br>
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{A_{résult.} = \left| \,2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2} \Big) \,\right|}}`$**   
+  <br>
+  $`\quad\quad\quad=\sqrt{4\,A^2 \cdot cos^2\Big(\dfrac{\varphi_1 - \varphi_2}{2}\Big)}`$   
+  <br>
+  $`\color{blue}{\scriptsize{\left.\begin{align} \quad\quad &cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\\
+                     &cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\end{align}
+               \right\}\Longrightarrow\\
+        \quad\quad cos^2(a)=cos(a)cos(a)=\dfrac{1}{2}[cos(a+a)+cos(a-a)]\\
+        \quad\quad\quad\quad=\dfrac{1}{2}[1 + cos(2a)]}}`$   
+   <br>
+   $`\boldsymbol{\mathbf{\quad\quad \color{brown}{=\sqrt{2\,A^2 \cdot \big(1 + cos\,(\varphi_1 - \varphi_2)\big)}}}}`$
 
+<!--------------
 $`\begin{align} \quad &=A\;\big[\,cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{\text{  posons }\\ kx - \omega t\,=\, \alpha}}) + cos(\underbrace{kx - \omega t}_{\color{blue}{=\; \alpha}} + \Delta\varphi)\,\big]
 &\\
 &=A\;\big[\,cos\Big(\alpha + \underbrace{\dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2} + \dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}}_{\color{blue}{=\;\varphi_1}}\Big) \\
@@ -960,11 +975,14 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\va
         \quad\quad\quad\quad=\dfrac{1}{2}[1 + cos(2a)]}}`$   
    <br>
    $`\boldsymbol{\mathbf{\quad\quad \color{brown}{=\sqrt{2\,A^2 \cdot \big(1 + cos\,(\varphi_1 - \varphi_2)\big)}}}}`$
+-------------->
 
 <br>
 
+#### *Interférences de 2 ondes harmoniques de même fréquence*<br>**aspect spatial**
+
+
 
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