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@@ -1019,44 +1019,44 @@ est alors_ $`A=|A_1 - A_2|`$.
 * Une **fonction harmonique** de pulsation $`\omega`$, d'amplitude $`A`$ et de phase 
 à l'origine $`\varphi^0`$ s'écrit :   
 <br>
-**$`U't)=A\,cos(\omega t + \varphi^0)`$**. 
+**$`U(t)=A\,cos(\omega t + \varphi^0)`$**. 
 
 * L'onde résultante *$`U(t)`$* est une *fonction harmonique si* il existe $`A`$ et $`\varphi^0`$
-  tels que :
+  tels que :   
+<br>
 *$`A\,cos(\omega t + \varphi^0)`$*
 *$`\hspace{0.8cm}= A_1\;cos(\omega t + \varphi_1^0) + A_2\;cos(\omega t + \varphi_2^0)`$*.(Eq1)   
 <br>
 L'existence de $`A`$ et $`\varphi^0`$ vérifiant cette égalité, si elle peut être intuitive,
 n'apparaît pas comme une certitude immédiate. 
 <br>
-Il faudrait réécrire les deux membres de l'équation sous une même forme afin que, 
-par identification des termes équivalents, des expressions de $`A`$ et $`\varphi^0`$ 
-en fonction de $`A_1`$, $`A_2`$, $`\varphi_1^0`$ et $`\varphi_2^0`$ puissent être 
-trouvées, validant ainsi leur existence.
+Il faudrait réécrire les deux membres de l'équation sous une même forme afin de, 
+par identification des termes équivalents, **trouver** des **expressions de $`A`$ et $`\varphi^0`$** 
+*en fonction de $`A_1`$, $`A_2`$, $`\varphi_1^0`$ et $`\varphi_2^0`$* pour valider ainsi leur existence.
 
 * Une **piste** est de décomposer les termes en $`cos(\omega t + \varphi^0)`$, 
 $`cos(\omega t + \varphi_1^0)`$ et $`cos(\omega t + \varphi_2^0)`$, pour 
-*faire apparaître le facteur de phase commun $`\omega t`$ au sein de fonctions 
+**faire apparaître** le *facteur de phase commun $`\omega t`$ au sein de fonctions 
 trigonométriques*.   
 <br>
 Pour cela, utilise la relation de trigonométrie :
 *$`cos(a+b)=cos(a)\,cos(b)-sin(a)\,sin(b)`$*   
 <br> 
-et pour raccourcir les expressions que tu vas trouver, pose l'*écriture réduite*   
-*$`cos(\theta) = c\;\theta`$ et $`sin(\theta) = s\;\theta`$*.   
+et pour raccourcir les expressions que tu vas trouver, pose l'*écriture réduite*     
+*$`cos(\theta) = c\;\theta\quad`$* et *$`\quad sin(\theta) = s\;\theta`$*.   
 <br>
 L'équation (eq1) se réécrit alors :   
 <br>
 $`A\,[\,c\,\omega t\,c\,\varphi^0-s\,\omega t\,s\,\varphi^0]`$
 $`\hspace{0.8cm}= \quad A_1\,[\,c\,\omega t\,c\,\varphi_1^0-s\,\omega t\,s\,\varphi_1^0]`$
-$`\hspace{1.3cm}+A_2\,[\,c\,\omega t\,c\,\varphi_2^0-s\,\omega t\,s\,\varphi_2^0]`$.  
+$`\hspace{1.3cm}+\;A_2\,[\,c\,\omega t\,c\,\varphi_2^0-s\,\omega t\,s\,\varphi_2^0]`$.  
 <br>
 Dans chaque membre de l'équation, regroupe les termes proportionnels à 
 $`c\,\omega t`$ et ceux proportionnels à $`s\,\omega t`$.   
 <br>
 $`A\,[\,c\,\omega t\,c\,\varphi^0-s\,\omega t\,s\,\varphi^0]`$
 $`\hspace{0.8cm}= \quad c\,\omega t\,(\,A_1\,c\,\varphi_1^0+A_2\,c\,\varphi_2^0\,)`$ 
-$`\hspace{1.3cm}-s\,\omega t\,(\,A_2\,s\,\varphi_1^0+A_2\,s\,\varphi_2^0\,)`$.   
+$`\hspace{1.3cm}-\;s\,\omega t\,(\,A_2\,s\,\varphi_1^0+A_2\,s\,\varphi_2^0\,)`$.   
 <br>
 L'identification des termes équivalents apparaît alors possible :   
 <br>
@@ -1072,20 +1072,20 @@ qui vérifient pour tout $`\theta`$ :
 $`cos^2(\theta) = [cos(\theta)]^2`$ et $`sin^2(\theta) = [sin(\theta)]^2`$,  
 <br>
 Ainsi dans ton *écriture réduite* remplace 
-*$`(c\,\theta)^2 = c^2\,\theta\quad`$* et *$`(\quad s\,\theta)^2 = s^2\,\theta`$*.  
+*$`(c\,\theta)^2 = c^2\,\theta\quad`$* et *$`\quad (s\,\theta)^2 = s^2\,\theta`$*.  
 <br>
 Tu obtiens ainsi :   
 <br>
-$`A^2=\;\;A_1^2\;c^2\,\varphi_1^0 +A_2^2\;c^2\,\varphi_2^0`$
-$`\hspace{2.1cm} + 2\,A_1\,A_2\,c\,\varphi_1^0\,c\,\varphi_2^0`$
-$`\hspace{1cm} +A_1^2\;s^2\,\varphi_1^0 +A_2^2\;s^2\,\varphi_2^0`$
-$`\hspace{2.1cm}+ 2\,A_1\,A_2\,s\,\varphi_1^0\,s\,\varphi_2^0`$   
+*$`\mathbf{A^2=}`$* $`\;\;A_1^2\;c^2\,\varphi_1^0 +A_2^2\;c^2\,\varphi_2^0`$
+$`\hspace{2.4cm} + 2\,A_1\,A_2\,c\,\varphi_1^0\,c\,\varphi_2^0`$
+$`\hspace{1cm} +\;A_1^2\;s^2\,\varphi_1^0 +A_2^2\;s^2\,\varphi_2^0`$
+$`\hspace{2.4cm}+ 2\,A_1\,A_2\,s\,\varphi_1^0\,s\,\varphi_2^0`$   
 <br>
-$`\hspace{0.7cm} = A_1^2\,(c^2\,\varphi_1^0 +s^2\,\varphi_1^0)`$
-$`\hspace{2.1cm} + A_2^2\,(c^2\,\varphi_2^0 +s^2\,\varphi_2^0)`$
-$`\hspace{2.1cm} + 2\,A_1\,A_2\,(c\,\varphi_1^0\,c\,\varphi_2^0 + s\,\varphi_1^0\,s\,\varphi_2^0)`$.  
+$`\hspace{0.7cm} =\;\; A_1^2\,(c^2\,\varphi_1^0 +s^2\,\varphi_1^0)`$
+$`\hspace{1cm} + A_2^2\,(c^2\,\varphi_2^0 +s^2\,\varphi_2^0)`$
+$`\hspace{2.4cm} + 2\,A_1\,A_2\,(c\,\varphi_1^0\,c\,\varphi_2^0 + s\,\varphi_1^0\,s\,\varphi_2^0)`$.  
 <br>
-$`\hspace{0.7cm} =A_1^2\,+\,A_2^2\,+\,2\,A_1\,A_2\,c(\varphi_1^0 -\varphi_2^0)`$.  
+$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{0.7cm} =A_1^2\,+\,A_2^2\,+\,2\,A_1\,A_2\;c(\varphi_1^0 -\varphi_2^0)}}`$.  
 <br>
 L'amplitude étant toujours par définition un nombre réel positif, tu obtiens au 
 final l'expression de $`A`$ :   
@@ -1094,23 +1094,23 @@ $`A=\sqrt{A_1^2\,+\, A_2^2\,+\, 2\,A_1\,A_2\,c(\varphi_1^0 -\varphi_2^0)}`$,
 <br>
 Soit en écriture non réduite :   
 <br>
-**$`\boldsymbol{\mathbf{A=\sqrt{A_1^2\,+\, A_2^2\,+\, 2\,A_1\,A_2\,cos (\arphi_1^0 -\arphi_2^0)}}}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{A=\sqrt{A_1^2+A_2^2\,+\, 2\,A_1\,A_2\,cos (\varphi_1^0 -\varphi_2^0)}}}`$**
 
 * Pour $`\varphi`$, tu connais en fonction de $`A_1`$, $`A_2`$, $`\varphi_1^0`$ et $`\varphi_2^0`$ 
 les expressions de $`A\,s\,\varphi^0`$ et $`A\,c\,\varphi^0`$.    
 <br>
 Il te sera donc facile de calculer l'expression de $`tan(\varphi^0)=\dfrac{sin(\varphi^0)}{cos(\varphi^0)}`$ 
-pour en déduite l'expression de $`\varphi_0`$ car par définition   
+pour en déduite l'expression de $`\varphi_0`$, car par définition de la *fonction arctangente* :   
 <br>
-$`arctan(tan(\varphi^0)=\varphi_0`$.   
+*$`arctan(tan(\varphi^0))=\varphi_0`$*.   
 <br>
 Le calcul donne :   
 <br>
 $`tan\,\varphi^0 = \dfrac{s\,\varphi}{\,c\varphi}=\dfrac{A\,s\,\varphi}{A\,\,c\varphi}= \dfrac{A_1\,s\varphi_1^0 + A_2\,s\varphi_2^0}{A_1\,c\varphi_1^0 + A_2\,c\varphi_2^0}`$   
 <br>
-Soit au final en écriture non réduite :
+Soit au final en écriture non réduite :   
 <br>
-**$`\boldsymbol{\mathbf{\varphi^0 = arctan\left[\dfrac{A_1\,sin\,(\varphi_1^0) + A_2\,sin\,(\varphi_2^0)}{A_1\,cos\,(\varphi_1^0) + A_2\,cos\,(\varphi_2^0)}\right]}}`$**.   
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\varphi^0}}** **$`\boldsymbol{\mathbf{\;= arctan\left[\dfrac{A_1\,sin\,(\varphi_1^0) + A_2\,sin\,(\varphi_2^0)}{A_1\,cos\,(\varphi_1^0) + A_2\,cos\,(\varphi_2^0)}\right]}}`$**.   
 <br>
 Tu as ainsi démontré un fait important :   
 <br>
@@ -1120,19 +1120,21 @@ FAIRE UN ENCADRÉ RÉCAPTITULATIF, coloré, comme une image.
 
 ##### À quelles conditions l'onde résultante est-elle nulle ?
 
-* L'onde résultante est nulle si son amplitude égale zéro : $`A=0`$.   
+* L'*onde résultante* est *nulle* si son amplitude égale zéro : *$`A=0`$*.   
   <br>
  Donc l'onde résultante est nulle si l'égalité suivante est vérifiée :   
  <br>
-$`\sqrt{A_1^2\,+ A_2^2\,+ 2\,A_1\,A_2\,(\,c(\,\varphi_1^0 -\varphi_2^0)}=0`$
+**$`\sqrt{A_1^2\,+ A_2^2\,+ 2\,A_1\,A_2\,(\,c(\,\varphi_1^0 -\varphi_2^0)}=0`$**   
 <br>
 Il n'est de premier abord par évident de dire si cette équation n'est vérifiée que
 pour $`A_1=A_2`$ et $`|\varphi_1^0-\varphi_2^0|=\pi`$, ou si il existe une combinaison
 d'amplitudes $`A_1\ne A_2`$ et de phases à l'origine $`|\varphi_1^0-\varphi_2^0|\ne\pi`$ 
 qui, en se compensant, annule l'amplitude $`A`$ de l'onde résultante.   
 <br>
-Ici est étudié la superposition de deux ondes harmoniques, donc les amplitudes de 
-chacune est non nulle : $`A_1\ne 0`$ et $`A_2\ne 0`$.   
+*Ici* est étudié la superposition de deux ondes harmoniques, donc les amplitudes de 
+chacune est non nulle : *$`A_1\ne 0`$* et *$`A_2\ne 0`$*.   
+
+à terminer
 
 
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