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#### Comment se détermine l'expression du gradient dans un système de coordonnées ? #### Comment se détermine l'expression du gradient dans un système de coordonnées ?
Munis l'espace d'un système de coordonnées orthogonales directes $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$. Soit un système de **coordonnées orthogonales directes $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$**.
Un point quelconque de l'espace est repéré par ses coordonnées $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$. En un point quelconque de l'espace de coordonnées $`(\alpha\,,\beta\,,\gamma)`$ est associée
En un point quelconque de l'espace de coordonnées orthogonale $`(\alpha_M\,,\beta_M\,,\gamma_M)`$ est associée
la base des vecteurs unitaires la base des vecteurs unitaires
$`(\overrightarrow{e_{\alpha}}\,,\overrightarrow{e_{\beta}}\,,\overrightarrow{e_{\gamma}})`$, orthonormée et directe. *$`(\overrightarrow{e_{\alpha}}\,,\overrightarrow{e_{\beta}}\,,\overrightarrow{e_{\gamma}})`$ orthonormée et directe*.
Dans cette base, soient : Dans cette base, soient :
* $`(X_{\alpha}\;,\;X_{\beta}\;,\;X_{\gamma})`$ * $`(X_{\alpha}\;,\;X_{\beta}\;,\;X_{\gamma})`$
les composantes inconnues du vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ : les composantes inconnues du vecteur $`\overrightarrow{grad}\,\phi`$ :
$`\color{brown}{\\mathbf{\overrightarrow{grad}\,\phi=X_{\alpha}\;\overrightarrow{e_{\alpha}}+X_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}+X_{\gamma}\;\overrightarrow{e_{\gamma}}}}`$ $`\color{brown}{\mathbf{\overrightarrow{grad}\,\phi=X_{\alpha}\;\overrightarrow{e_{\alpha}}+X_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}+X_{\gamma}\;\overrightarrow{e_{\gamma}}}}`$
* $`(dl_{\alpha}\;,\;dl_{\beta}\;,\;dl_{\gamma})`$ * $`(dl_{\alpha}\;,\;dl_{\beta}\;,\;dl_{\gamma})`$
les composantes connues du vecteur $`\overrightarrow{dl}`$ : les composantes connues du vecteur $`\overrightarrow{dl}`$ :
* $`\color{blue}{\\mathbf{\overrightarrow{dl}=dl_{\alpha}\;\overrightarrow{e_{\alpha}}+dl_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}+dl_{\gamma}\;\overrightarrow{e_{\gamma}}}}`$ * $`\color{blue}{\mathbf{\overrightarrow{dl}=dl_{\alpha}\;\overrightarrow{e_{\alpha}}+dl_{\beta}\;\overrightarrow{e_{\beta}}+dl_{\gamma}\;\overrightarrow{e_{\gamma}}}}`$
Par définition : Par définition :
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