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12.temporary_ins/69.waves/30.n3/20.overview/cheatsheet.fr.md

@@ -1420,7 +1420,7 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
 **$`\quad\quad\;\;=\,\theta_{moy}(\overrightarrow{r},t)\,-\,\theta_{1-2}(\overrightarrow{r},t)`$**  
 
 
-* *Travaillons* les **termes $`(cos\theta_1+cos\theta_2)`$ et $`(cos\theta_1-cos\theta_2)`$* qui interviennent
+* *Travaillons* les **termes $`(cos\theta_1+cos\theta_2)`$ et $`(cos\theta_1-cos\theta_2)`$** qui interviennent
   dans l'expression de $`U(\vec{r},t)`$ :   
   <br>
   **$`cos\theta_1+cos\theta_2 =`$**$`\;cos\,(\theta_{moy}+\Delta\theta_{1-2})+cos\,(\theta_{moy}-\Delta\theta_{1-2}`$   
@@ -1444,6 +1444,23 @@ $`\quad\quad \;\; = \cdots`$
   **$`\quad\;\; = -\,2\,sin\,\theta_{moy}\;sin\,\Delta\theta_{1-2}`$**
 
 
+* Nous obtenons l'**expression finale** de l'onde résultante de la *superposition de deux OPPH* quelconques :   
+  <br>
+  $`\begin{array}\quad = &A_1\,cos\big(\underbrace{\omega_1 t + \overrightarrow{k}_1\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1}_{\color{blue}{\theta_1(\vec{r},t)}}\big)\\
+  &+ A_2\,cos\big(\underbrace{\omega_2 t + \overrightarrow{k}_2\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2}_{\color{blue}{\theta_2(\vec{r},t)}}\big)\end{array}`$   
+  <br>
+  $`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos\,\theta_{moy}\;cos\,\Delta\theta_{1-2}\\
+   &-\,2\,\Delta A_{1-2}\,\,sin\,\theta_{moy}\;sin\,\Delta\theta_{1-2}\end{array}`$   
+  <br>
+  $`\begin{array}\quad = &+\,2\,A_{moy}\,cos\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
+    &\quad\times\,cos\(\Delta \omega_{1-2} t + \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{1-2}\big)\\
+    \\
+   &\quad = -\,2\,sin\big(\omega_{moy} t + \overrightarrow{k}_{moy}\cdot\overrightarrow{r}+ \varphi_{moy}\big)\\
+    &\quad\times\,sin\(\Delta \omega_{1-2} t + \Delta \overrightarrow{k}_{1-2}\cdot\overrightarrow{r}+\Delta\varphi_{1-2}\big)
+    \end{array}`$
+
+
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