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@@ -429,40 +429,100 @@ ATTENTION !! PAS ENCORE PRÊT DU TOUT
 Ceci implique donc que la **vitesse du capteur** est *inférieure 
 à la vitesse de propagation* de l'onde.
 
-   * La *source émet* la **première impulsion à l'instant $`t_1`$**.   
+   * La *source émet* la **première impulsion à l'instant $`\mathbf{t_1}`$**.   
 
-   * Le *capteur détecte* cette **première impulsion à l'instant $`t_1'`$**, alors qu'il 
-  est situé à la *distance $`d_{impuls.1}`$ de la source* au moment de l'émission 
+   * Le *capteur détecte* cette **première impulsion à l'instant $`\mathbf{t_1}'`$**, alors qu'il 
+  est situé à la *distance $`\mathbf{d_{impuls.1}}`$  de la source* au moment de l'émission 
   la première impulsion.  
 <br>
-$`d_{impuls.1}`$ est donc la distance parcourue par l'impulsion entre son instant 
-$`t_1`$ d'émission et l'instant $`t_1'`$ où elle est détectée.    
+$`\mathbf{d_{impuls.1}}`$ est donc la distance parcourue par l'impulsion entre son instant 
+$`\mathbf{t_1}`$ d'émission et l'instant $`\mathbf{t_1}'`$ où elle est détectée.    
 <br>
 Se propageant entre ces deux instants dans le milieu matériel à la vitesse $`\mathscr{v}_{prop}`$,
 tu as la première relation :   
 <br>
 *$`\mathbf{d_{impuls.1} = \mathscr{v}_{prop}\times (t_1' - t_1)}`$*   
 
-   * La *source émet* une **seconde impulsion à l'instant $`t_2`$**.   
+   * La *source émet* une **seconde impulsion à l'instant $`\mathbf{t_2}`$**.   
 <br>
 Figure ou animation à faire.  
 <br>
 
-   * Le *capteur détecte* cette **seconde impulsion à l'instant $`t_2'`$**, alors qu'il
+   * Le *capteur détecte* cette **seconde impulsion à l'instant $`\mathbf{t_2}'`$**, alors qu'il
 est situé à la *distance $`d_{impuls.2}`$ de la source* au moment où elle émet la seconde impulsion.   
 <br>
-$`d_{impuls.2}`$ est donc la distance parcourue par la deuxième impulsion entre son instant $`t_2`$
-d'émission et l'instant $`t_2'`$ où elle est détectée. L'impulsion se propageant dans le milieu
+$`\mathbf{d_{impuls.2}}`$ est donc la distance parcourue par la deuxième impulsion entre son instant $`\mathbf{t_2}`$
+d'émission et l'instant $`\mathbf{t_2'}`$ où elle est détectée. L'impulsion se propageant dans le milieu
 matériel à la vitesse $`\mathscr{v}_{prop}`$, tu as une deuxième relation :   
 <br>
 *$`\mathbf{d_{impuls.2} = \mathscr{v}_{prop}\times (t_2' - t_2)}`$*.   
 
 * Avant une synthèse finale, **plusieurs cas** sont à étudier selon les mouvements de la source et du capteur, 
-  donnant des *expressions différentes de l'effet Doppler*.
+  donnant des *expressions différentes de l'effet Doppler* :
+
+----------------
 
    * **Source et capteurs s'éloignent**, et se dirigent en *sens inverse*
 
 ![](doppler-1-n2_L1200.png)
+<br>
+
+* **$`d_{impuls.2}`$** est donc la distance **$`d_{impuls.1}`$** à laquelle *il faut* : 
+  * *ajouter la distance algébrique $`d_{source}`$* parcourue par la source pendant 
+  la durée séparant l'émission des deux impulsions :   
+<br>
+ *$`d_{source}=\mathscr{v}_{source}\times (t_2 - t_1)`$*.
+   * *ajouter la distance algébrique $`d_{capteur}`$*  parcourue par le capteur 
+   pendant la durée séparant la réception deux impulsions :   
+<br>
+ *$`d_{capteur} = \mathscr{v}_{capteur}\times (t_2' - t_1')`$*.
+<br>
+<br>
+Tu obtiens ainsi :   
+<br>
+**$`\mathbf{d_{impuls.2} = d_{impuls.1}`$***$`\, + d_{source} + d_{capteur}}`$*
+
+
+$`\begin{align}
+\underbrace{\mathscr{v}_{propag.}\cdot (t_2' - t_2)}_{\color{blue}{d_{impuls.2}}}&=
+\underbrace{\mathscr{v}_{propag.}\cdot (t_1' - t_1)}_{\color{blue}{d_{impuls.1}}}\\
+& \hspace{1cm} + \underbrace{\mathscr{v}_{source}\cdot (t_2 - t_1)}_{\color{blue}{d_{source}}}\\
+& \hspace{2cm} +\underbrace{\mathscr{v}_{capteur}\cdot (t_2' - t_1')}_{\color{blue}{d_{capteur}}}
+\end{align}`$
+
+<br>
+$`\begin{align}
+\mathscr{v}_{propag.}\,t_2' - \mathscr{v}_{propag.}\,t_2 &= \mathscr{v}_{propag.}\,t_1' -  \mathscr{v}_{propag.}\,t_1\\
+& \hspace{0.6cm} + \mathscr{v}_{source}\,t_2 - \mathscr{v}_{source}\,t_1\\
+& \hspace{1.2cm} +\mathscr{v}_{capteur}\,t_2' - \mathscr{v}_{capteur}\,t_1'
+\end{align}`$
+
+<br>
+$`\begin{align}
+&\mathscr{v}_{propag.}\,t_2' - \mathscr{v}_{propag.}\,t_1' - \mathscr{v}_{capteur}\,t_2'+ \mathscr{v}_{capteur}\,t_1'\\
+& \hspace{1cm} =  \mathscr{v}_{propag.}\,t_2 -  \mathscr{v}_{propag.}\,t_1 + \mathscr{v}_{source}\,t_2 - \mathscr{v}_{source}\,t_1 
+\end{align}`$
+
+<br>
+$`\begin{align}
+&\mathscr{v}_{propag.}\,(t_2' - t_1') - \mathscr{v}_{capteur}\,(t_2' - t_1') \\
+&\hspace{1cm} = \mathscr{v}_{propag.}\,(t_2 - t_1) - \mathscr{v}_{source}\,(t_2 - t_1)
+\end{align}`$
+
+<br>
+$`\begin{align}
+& (t_2' - t_1')\; (\mathscr{v}_{propag.} - \mathscr{v}_{capteur})\\
+&\hspace{1cm} = (t_2 - t_1)\;(\mathscr{v}_{propag.}- \mathscr{v}_{source})
+\end{align}`$
+
+
+<br>
+$`\boldsymbol{\mathbf{(t_2' - t_1')= (t_2 - t_1)\cdot \dfrac{\mathscr{v}_{propag.}- \mathscr{v}_{source}}
+{\mathscr{v}_{propag.} - \mathscr{v}_{capteur}}}}`$
+
+
+
+-----------------
 
    * **Source et capteurs se rapprochent**, se dirigeant en *sens inverse*