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@@ -161,7 +161,7 @@ $`\Longrightarrow`$ *différentes distributions de charge sont étudiées* dans
 
 ##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$
 
-*  $`Q_{int}`$ est la charge contenue à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$
+*  $`Q_{int}`$ est la **charge contenue à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$**.
 
 * **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau_G \rightarrow\mathcal{S}_G} \dens\; d\tau}`$**, avec :   
    *   **$`\mathbf{\tau_G}`$** *volume intérieur* à $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$.
@@ -196,11 +196,8 @@ $`\overrightarrow{E},(\rho, \varphi, z)=E\;`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
     * Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques différentes décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$.
     * Il y a un nombre entier $`n`$ de fonctions mathématiques parfois identiques décrivant $`\dens^{3D}`$ et qui correspondent à $`n`$ sous-espaces complémentaires de l'espace $`\mathscr{E}`$ séparés par des surfaces 2D caractérisées par une densité surfacique $`\dens^{2D}`$ de charge.
 ----------------------------------------------->
-
 <br>
 
----------------------------
-
 #### 1 ) Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en volume
 
 ##### Description de $`\dens`$ :
@@ -217,20 +214,23 @@ $`\overrightarrow{E},(\rho, \varphi, z)=E\;`\overrightarrow{e_{\rho}}`$
 <!--Cela peu paraître inutile car évident pour les professeurs, mais leurs cerveaux ont eu des années pour intégrer cela. La non conscience qu'il faille considérer différents cas selon la position du point M pour le calcul de $`Q_{int}`$  (que cela soit par manque de visualisation ou sous l'effet du stress d'un examen) est une cause non négligeable d'erreurs. D'où la volonté ici d'emphaser ce point en parlant de sous-espaces.--->
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4-v3_L1200.jpg)   
-_figure temporaire à réviser_
+_figure temporaire à réviser._
 
 
 ##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$ :
 
+*  L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
+*  **2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
+
 <br>
-**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho\le R}`$** :
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\le R}`$** :
 
 * Le *point $`M`$ quelconque* est situé **à l'intérieur** du cylindre chargé.   
 <br>
 $`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss  $`\Ltau_G`$** associé est *entièrement contenue dans l'espace $`\mathscr{E}_{int}`$* caractérisé par la *densité de charge constante $`\dens_0^{3D}`$*.
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-6-v8_L1200.gif)   
-_Le volume de gauss est entièrement caractérisée par même expression de densité de charge constante_ $`\dens^{3D}_0`$.
+_Le volume de gauss est entièrement caractérisée par même expression de densité de charge constante_ $`\dens^{3D}_0`$. _Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
   
 *   **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \iiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau}`$**.  
    <br>
@@ -239,29 +239,30 @@ _Le volume de gauss est entièrement caractérisée par même expression de dens
    $`\displaystyle Q_{int}=\dens^{3D}_0\iiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau`$.   
 *  L'expression du volume d'un cylindre étant connue, *nul besoin de détailler le calcul intégral*,    
    <br>
-**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,\rho^2\,h}\quad`$**  _(pour $`\rho\le R)`$_
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,\rho_M^2\,h}\quad`$**  (pour $`\rho_M\le R)`$
 
 ------------------
 <br>
 
-**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho\gt R}`$** :
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\gt R}`$** :
 
 * Le *point $`M`$ quelconque* est situé **à l'extérieur** du cylindre chargé.   
 <br>
 $`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss  $`\Ltau_G`$** s'étend *dans les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$*    
 
-* **$`\mathbf{Q_{int}}`$** $\displaystyle\;=\iiint_{\Ltau_G}\dens\;d\Ltau`$   
+* **$`\mathbf{Q_{int}}`$** $`\displaystyle\;=\iiint_{\Ltau_G}\dens\;d\Ltau`$   
 <br>
-$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_{int}\,d\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}\,\dens_{ext}d\Ltau`$    
+$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_{int}\;d\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}\dens_{ext}\;d\Ltau`$    
 <br>
-$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_0^{3D}\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}0\;d\Ltau`$    
+$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_0^{3D}\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}0 d\Ltau`$    
 <br>
 **$`\mathbf{\displaystyle\;\;= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_0^{3D}\Ltau}`$**
 
  ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5-v7_L1200.gif)   
 _Le volume de gauss est divisé en deux domaines complémentaires :_.       
 $`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}`$ _tel que_  $`\dens=\dens^{3D}_0`$ _et_ $`\rho\le R`$,   
-$`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}`$ _tel que_  $`\dens=0`$ _et_ $`\rho\gt R`$.   
+$`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}`$ _tel que_  $`\dens=0`$ _et_ $`\rho\gt R`$.  
+_Corriger_ $`\vec{e_r}`$ _en_ $`\vec{e_{\rho}}`$.
 
 *  Commune à tous ces $`d\Ltau`$ dans $`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}\; , \; \dens^{3D}_0`$ , *peut donc sortir de l'intégrale* :   
   <br>
@@ -269,45 +270,45 @@ $`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}`$ _tel que_  $`\dens=0`$ _et_ $`\rho\gt R`$.
    
 *  Le volume d'un cylindre connu, *nul besoin de détailler le calcul intégral*,    
    <br>
-**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}\quad`$**  _(pour $`\rho\gt R)`$_
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}\quad`$**  (pour $`\rho_M\gt R)`$
 
 ##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$
 
 **Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
 (ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
 
-* **Si $`\mathbf{\rho\le R}`$**,    
+* **Si $`\mathbf{\rho_M \le R}`$**,    
 donc à l'*intérieur du cylindre chargé* :   
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
-**$`\mathbf{2\pi \rho\,h\, E}`$**
+**$`\mathbf{2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
 $`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
-**$`\mathbf{\;=\dens^{3D}_0\times \pi\,\rho^2\,h}`$**   
+**$`\mathbf{\;=\dens^{3D}_0\times \pi\,\rho_M^2\,h}`$**   
 <br>
 Au final :  
 $`\left.\begin{array}{l}
 \overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
-2\pi \rho\, h\,E= \pi\,\rho^2\,h\, \dens^{3D}_0
+2\pi \rho_M\, h\,E= \pi\,\rho_M^2\,h\, \dens^{3D}_0
 \end{array}\right\}
 \Longrightarrow`$
-**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_M\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
 
-* **Si $`\mathbf{\rho\gt R}`$**,   
+* **Si $`\mathbf{\rho_M\gt R}`$**,   
 donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :    
 <br>
 $`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
-**$`\mathbf{2\pi \rho\,h\, E}`$**
+**$`\mathbf{2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
 $`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
 **$`\mathbf{\;=\dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}`$**   
 <br>
 Au final :   
 $`\left.\begin{array}{l}
 \overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
-2\pi \rho\,h\, E= \pi\,R^2\,h\, \dens^{3D}_0
+2\pi \rho_M\,h\, E= \pi\,R^2\,h\, \dens^{3D}_0
 \end{array}\right\}
 \Longrightarrow`$
-**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{R^2\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0\,\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{R^2\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
 * *Remarques :* **$`\overrightarrow{E}=0`$ sur l'axe de révolution** $`\Delta`$ du cylindre, 
 *en accord avec les symétries* en tout point de cet axe :   
@@ -315,10 +316,11 @@ $`\left.\begin{array}{l}
    $`\forall M \in \Delta`$ :   
    $`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
 P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie} \\
-\text{tout plan contenant }\Delta \text{ : plan de symétrie} \end{array}\right\}`$
-$`\,\Longrightarrow`$$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}`$
+\text{tout plan contenant }\Delta \text{ : plan de symétrie} 
+\end{array}\right\}`$$`\,\Longrightarrow`$$`\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}`$
+
+<br><
 
-<br>
 
 --------------------------------------------
 
@@ -447,9 +449,9 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 \Longrightarrow`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,R^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+<br>
 
-
-
+-------------------------------------------------
 
 
 #### _3 )_ Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
@@ -477,6 +479,10 @@ Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
 
 à terminer
 
+<br>
+
+----------------------------
+
 
 ##### _4 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé uniformément en surface
 
@@ -512,7 +518,9 @@ Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n
 montrer que ce paradoxe viens du passage 3D vers 1D. Le vrai comportement de $`\overrightarrow{E}(\rho))`$
 au voisinage de $`\rho=0`$ est dans les dimensions négligées).
 
+<br>
 
+------------------------
 
 
 ### **5 -** Cylindres creux coaxiaux