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...@@ -481,10 +481,12 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha + ...@@ -481,10 +481,12 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha +
* Ainsi l'**onde sinusoïdale plane progressive** peut s'écrire : * Ainsi l'**onde sinusoïdale plane progressive** peut s'écrire :
<br> <br>
* soit en *notation réelle* : * soit en *notation réelle* :
<br>
1D : *$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{U(x,t)=A\cdot cos\,(\omega t - k x + \varphi)}}}`$* 1D : *$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{U(x,t)=A\cdot cos\,(\omega t - k x + \varphi)}}}`$*
3D : *$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{U(\vec{r},t)=A\cdot cos\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi)}}}`$* 3D : *$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{U(\vec{r},t)=A\cdot cos\,(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi)}}}`$*
* soit en **notation complexe** : * soit en **notation complexe** :
<br>
1D : **$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{\underline{U}(x,t)}}}`$** $`\;= A\cdot \underbrace{exp\,[\,i\,(\omega t - k x + \varphi}_{\color{blue}{exp(a+b) = exp(a)\times exp(b)})\,]}`$ 1D : **$`\;\large{\boldsymbol{\mathbf{\underline{U}(x,t)}}}`$** $`\;= A\cdot \underbrace{exp\,[\,i\,(\omega t - k x + \varphi}_{\color{blue}{exp(a+b) = exp(a)\times exp(b)})\,]}`$
<br> <br>
$`\;\quad\quad\quad\quad\quad =\underbrace{A\;e^{\,i\,\varphi}}_{\color{blue}{\underline{A}=A\; e^{\,i\,\varphi}}}\cdot exp\,[\,i\,(\omega t - kx)\,]`$ $`\;\quad\quad\quad\quad\quad =\underbrace{A\;e^{\,i\,\varphi}}_{\color{blue}{\underline{A}=A\; e^{\,i\,\varphi}}}\cdot exp\,[\,i\,(\omega t - kx)\,]`$
...@@ -503,17 +505,17 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha + ...@@ -503,17 +505,17 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha +
* L'**amplitude réelle $`A`$** de l'onde s'exprime comme la *racine carrée du produit* * L'**amplitude réelle $`A`$** de l'onde s'exprime comme la *racine carrée du produit*
*de l'amplitude complexe $`\underline{A}`$ par son complexe conjugué $`\underline{A}^{\ast}`$* : *de l'amplitude complexe $`\underline{A}`$ par son complexe conjugué $`\underline{A}^{\ast}`$* :
<br>
* $`\underline{A}=A\,e^{\,i\,\varphi}`$ : amplitude complexe. * $`\underline{A}=A\,e^{\,i\,\varphi}`$ : amplitude complexe.
* $`\underline{A}^{\ast}=A\,e^{\,-i\,\varphi}`$ : amplitude complexe conjuguée. * $`\underline{A}^{\ast}=A\,e^{\,-i\,\varphi}`$ : amplitude complexe conjuguée.
**$`\large{\quad \sqrt{\underline{A}\,\underline{A}^{\ast}}}`$** $`\;= \sqrt{A\,e^{\,i\,\varphi}\times A\,e^{\,-i\,\varphi}}`$
<br>
$`\quad \;\,= \sqrt{A^2\,e^{\,i\,\varphi}\,e^{\,-i\,\varphi}} = \sqrt{A^2\,e^{\,(i-i)\,\varphi}} = \sqrt{A^2\,e^0}`$
<br> <br>
$`\quad \;\,=\sqrt{A^2} = \vert\,A\,\vert^2`$ $`\begin{array}
<br> \large{\mathbf{\color{brown}{\quad \sqrt{\underline{A}\,\underline{A}^{\ast}}}}} &= \sqrt{A\,e^{\,i\,\varphi}\times A\,e^{\,-i\,\varphi}}\\
**$`\large{\quad \;\,= A^2}`$** \\
&= \sqrt{A^2\,e^{\,i\,\varphi}\,e^{\,-i\,\varphi}} = \sqrt{A^2\,e^{\,(i-i)\,\varphi}}\\
\\
&= \sqrt{A^2\,e^0}=\sqrt{A^2} = \vert\,A\,\vert^2\\
\\
&\large{\mathbf{\color{brown}{= A^2}}}}\end{array}`$
......
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