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@@ -26,6 +26,18 @@ lessons:
 
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+#### Pourquoi considérer des espaces de dimensions supérieures à trois ?
+
+##### Qu'est-ce qu'un espace?
+
+##### appel à idées...
+
+faire des liens vers l'espace des phases, l'espace de Hilbert, l'espace-temps, ...
+
+<br><br>
+
+--------------------------------
+
 #### Pourquoi considérer des systèmes de coordonnées non orthonormés ?
 
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@@ -36,7 +48,7 @@ lessons:
 $`\Longrightarrow`$ l'étude des différentes structures  cristallines et des propriétés physiques qu'elles induisent est une **base de toute formation de physicien** de la matière condensée **ou d'ingénieur physicien** en microélectronique et instrumentation-mesure. 
 
 <br>
-*Description de la structure atomique d'un cristal*
+*Symétries et structure atomique d'un cristal*
 
 <image animée : structure atomique d'un cristal, réseau, motif, maille conventionnelle>
 
@@ -72,16 +84,76 @@ $`\Longrightarrow`$ pour chacun des 7 systèmes cristallins, une **règle de con
 
 -------------------------------------
 
-##### Pour décrire l'espace-temps de la relativité générale
+##### Pour décrire un espace-temps non euclidien
 
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-*Lignes de coordonnées sur une surface courbe*
+* L'**objectif principal** étant de décrire le cadre géométrique de l'*espace-temps de la relativité générale*, et de construire les *outils d'intégration et de différentiation* dans ce cadre géométrique.   
+Le cours de relativité générale, alors libéré de cet aspect géométrique déjà maîtrisé, se concentrera sur la relation entre la géométrique de l'espace-temps et son contenu en masse-énergie, et ses applications.
+
+* Un **système de coordonnées** est une façon de *repérer des points dans un espace*, ou dans une partie importante d'un espace.
+
+* En tout point d'un espace courbe, les **lignes de coordonnées** définissent les *directions des axes dans le plan tangent* à l'espace courbe en ce point.
+
+* Dans un espace courbe, *un système de coordonnées* **ne peut pas toujours être orthogonal** sur tout l'espace qu'il couvre.
+
+![](surface-non-euclidienne-form1-A_L1200.gif)
+
+* De même, en un *même point* d'un espace, les **angles entre les lignes de coordonnées peuvent varier** dans le temps.
+
+![](surface-non-euclidienne-form1-B_L500.gif)
+
+* Ainsi, même si **en chaque point,  un espace courbe** peut s'assimiler à un *plan euclidien dans lequel un système d'axes orthonormées peut être défini*, mais cela **ne permet pas à repérer les points sur tout l'espace** couvert.
+
+![](surface-non-euclidienne-form1-C_L1200.gif)
+
+* Si l'espace courbe est plongé dans un espace euclidien de dimension supérieure, les points seront repérés dans un système de coordonnées cartésiennes de l'espace euclidien.
+
+<figure animée à terminer>
+
+* Il n'est ni nécessaire, ni obligatoire qu'un espace courbe soit plongé dans un espace euclidien de dimension supérieure.    
+$`\Longrightarrow`$ la maîtrise des systèmes de coordonnées non orthonormées est nécesaire.
+
+<figure animée à terminer>
+
+<br><br><br>
+
+
+------------------------------------
+
+!   
+! *SYMETRIES ET STRUCTURES ATOMIQUES  DES  CRISTAUX*  
+!
+! Fera très certainement l'objet d'un grand chapitre individuel.   
+! Le titre pourra être changé.
+!
+
+<br><br><br>
+
+-------------
+
+!   
+! *CARACTERISATION  STRUCTURALE  DES  CRISTAUX*  
+!
+! Fera très certainement l'objet d'un grand chapitre individuel.   
+! Le titre pourra être changé.
+!
+
+<br><br><br>
+
+--------------
+
+!
+! *ESPACES NON  EUCLIDIENS*  
+!
+! Fera très certainement l'objet d'un grand chapitre individuel.   
+! Le titre pourra être changé.
+!
 
-![](variete-non-euclidienne-A_L900.gif)
 
-* Couvrir une surface courbe avec des coordonnées curvilignes orthogonales en chaque point de la surface est en général impossible.
+<br><br><br>
 
+--------------
 
 
 Stockage demo pour coordonnées non orthogonales dans un espace euclidien.