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@@ -246,6 +246,110 @@ que **variables, $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ ne peuvent exi
 * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{E}\ne \overrightarrow{0}`$*
 * Le terme *$`\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\ne 0`$ implique $`\overrightarrow{B}\ne \overrightarrow{0}`$*
 
+
+#### Que disent les équations de Maxwell sur la conservation de la charge ?
+
+* Partons de la combinaison d'opérateurs remarquable, valable pour tout champ vectoriel $`\overrightarrow{U}`$,    
+ $`div\,\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}=0`$,      
+et appliquons là au champ d'induction magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ :    
+<br>
+$`div\,\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=0`$
+
+* Il faut faire apparaître les distributions de charge $`\dens^{3D}`$ et de vecteur  densité de courant volumique $`\overrightarrow{j}^{3D}`$.    
+Pour cela nous utilisons la loi de Maxwell-Ampère    
+* $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}`$   
+<br>
+$`div\big(
+\mu_0\;\overrightarrow{j} + \mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
+\big)=0`$
+
+* Simplifions en divisant de chaque côté par la constante magnétique $`\mu_0`$ :   
+<br>
+$`div\,\big(
+\;\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}
+\big)=0`$
+
+* Dans le cadre de la physique classique, espace et temps sont indépendants, l'ordre de dérivation par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :   
+
+$`\dfrac{\partial}{\partial t}\left($`\dfrac{\partial}{\partial x}\right) =\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right) `$    
+    * L'opérateur divergence n'est constitué que de dérivées partielles de variables d'espace.
+    * $`\dfrac{\partial}{\partial t}`$ est une dérivée partielle de la variable temps.
+$`\Longrightarrow\quad div\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)= \dfrac{\partial}{\partial t}
+\left(div\right)`$.   
+Nous obtenons :   
+<br>
+$`div\,\overrightarrow{j} + \epsilon_0 \;\dfrac{\partial}{\partial t}
+\left(div\,\overrightarrow{E}\right)=0`$
+
+* En utilisant la loi de Maxwell-Gauss $`div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\dens^{3D}}{\epsilon_0} nous obtenons l'équation de conservation locale de la charge électrique en régime variable (donc toujours vérifiée) :   
+<br>
+$`div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}=0`$
+
+* Nous pouvons intégrer cette égalité locale sur un volume $`\tau`$ quelconque :   
+<br>
+$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} \Big(div\,\overrightarrow{j} +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}\Big)\,d\tau=0`$
+
+$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{j}\,d\tau+
+ \iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}\Big)\,t\tau=0`$
+
+Le théorème d'Ostrogradski (= théorème de la divergence) précise que pour tout champ 
+$`\overrightarrow{U}`$ vectoriel et pour tout volume $`\tau`$,    
+$`\displaystyle\iiint_{\Ltau} div\,\overrightarrow{U}\,d\Ltau=\oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS`$,   
+$`S`$ étant la surface fermée que délimite le volume $`\tau`$.   
+<br>
+Appliquons-le au premier terme de notre égalité :   
+<br>
+$`\displaystyle/oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS + \iiint_{\Ltau}\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t}\Big)\,t\tau=0`$.  
+<br>
+En remarquant de nouveau qu'espace et temps sont indépendants en physique classique, l'ordre de dérivation ou intégration par une variable spatiale et une variable temporelle n'importe pas :    
+<br>
+$`\displaystyle/oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS +\dfrac{\partial \dens^{3D}}{\partial t} \left(\iiint_{\Ltau}\dens^{3D} \,d\tau\right)=0`$.    
+<br>
+et en constatant que $`\displaystyle\iiint_{\Ltau}\dens^{3D} \,d\tau`$ est la charge totale $`Q_{int}`$ contenue dans le volume $`\tau`$, nous obtenons la relation intégrale de la loi de conservation de la. charge :   
+<br>
+$`\displaystyle/oiint_S \overrightarrow{U}\cdot dS +\dfrac{\partial Q_{int}}{\partial t}=0`$.    
+<br>
+qui s'énonce "Le flux du vecteur densité de courant volumique à travers une surface fermée, et égale à la dérivée temporelle de la charge totale contenue à l'intérieur de cette surface fermée."
+
+
+
+#### Le champ électromagnétique peut-il céder ou prendre de l'énergie à la matière ?
+
+Le champ électromagnétique agissant sur les particules chargées (électrons, ions, …) de la
+matière (à travers la force de Lorentz) peut lui communiquer de l'énergie.
+
+* Un porteur de charge $`q_1`$ animé de la vitesse $`\overrightarrow{\mathscr{v_1}}`$ dans le référentiel d'observation et qui ressent à son endroit un champ électromagnétique $`\big(\overrightarrow{E}\,,\,(\overrightarrow{B}\big)`$ subit la force de Lorentz $`\overrightarrow{F}_{Lor}`$ :   
+<br>
+$`\overrightarrow{F}_{Lor}=q_1\,\big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big)`$ 
+
+* Lors d'un déplacement élémentaire $`d\mathscr{l_1}`$ de la charge, la force de Lorentz produit le travail élémentaire $`d\mathcal{W}`$ :   
+<br>
+$`d\mathcal{W}=\overrightarrow{F}_{Lor}\cdot d\mathscr{l_1}`$
+$`\quad q_1\,\big(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big) \cdot d\mathscr{l}`$
+$`\quad q_1\,\big(\overrightarrow{E}) \cdot d\mathscr{l_1}\big)+\big(\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big) \cdot d\mathscr{l_1}\big)`$
+
+* Le vecteur vitesse de définition $`{\mathscr{v_1}=\dfrac{d\mathscr{l_1}}{dt}`$ est toujours parallèle à $`\mathscr{l_1}`$, donc :
+   * le produit mixte des trois vecteurs $`{\mathscr{v_1}}\,,\,\overrightarrow{B}\text{ et }d\mathscr{l_1}`$ est nul :   
+      $`{\mathscr{v_1}}\land\overrightarrow{B}\big) \cdot d\mathscr{l_1}=0`$
+   * $`\Longrightarrow`$ la force magnétique ne travaille pas.
+Ainsi le travail élémentaire de la force de Lorentz sur un porteur est celui de sa seule composante électrique :   
+<br>
+$`d\mathcal{W}_1=\overrightarrow{F}_{Lor}\cdot d\mathscr{l_1}=q_1\,\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\mathscr{l_1}}`$
+
+La puissance $`\mathcal{P_1}`$ reçue par un porteur s'exprime, en remarquant que 
+$`{\mathscr{l_1}=\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\,dt`$ :
+<br>
+**$`\mathcal{P}_1=\dfrac{d\mathcal{W}_1}{dt}`$**$`\quad=\dfrac{q_1\,\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\mathscr{l_1}}{dt}`$
+$`\quad =\dfrac{q_1\,\overrightarrow{E}\cdot }=\overrightarrow{\mathscr{v_1}}\,dt }{dt}`$
+**$`\quad =q_1\,\overrightarrow{E}\cdot }=\overrightarrow{\mathscr{v_1}`$**
+
+Si le milieu contient $`n_1`$ porteurs identiques de charge $`q_1`$ par unité de volume, alors un volume élémentaire $`d\tau`$ contient $`n_1\,\tau`$ porteurs de charge et reçoit du champ la puissance élémentaire :   
+<br>
+$`d\mathcal{P}=n_1\,d\tau\,\mathcal{P}_1=n_1\, q_1\,\overrightarrow{E}\cdot }=\overrightarrow{\mathscr{v_1}\,d\tau
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 #### Le champ électromagnétique contient-t-il de l'énergie ?
 
 à faire