## Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations
## Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations
### Analyse vectorielle
#### Vecteur
Objects mathématiques avec **3 caractéristiques** :
*norme*, *direction* et *sens*.
En mécanique, **représentation graphique** dans l'espace tridimensionnel :<br>
- des **sègments de droites** indiquant leur *direction*.<br>
- sègments de droite de **longueur** proportionnelle à leur *norme*.<br>
- par une **flèche** indiquant leur *sens*.
#### Signification des vecteurs en mécanique.
* Les *vecteurs* peuvent représenter des **grandeurs physiques différentes**.<br>
_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._
* Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple : vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.
#### Vecteurs colinéaires et non colinéaires
* Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :<br>
Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br>
" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
* Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*. Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.
* "$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
#### Base vectorielle
##### Dans un plan $`\mathcal{P}`$
* Définition :<br>
**2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.
* Propriété :<br>
Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire***des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.
* Écriture mathématique :<br>
"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
##### Dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$
***n vecteurs ordonnés** dans un *n-upplet $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$* forment une **base** d'un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur $`\vec{V}`$* de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs $`\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}`$.
* "$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
* En mécanique classique, **temps et espace** ne sont *pas couplés*.
**Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de l’espace par le **vecteur $`\vec{OM}`$** .
* L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace, la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels**, appelés ** coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M.
* Il y a *plusieurs façons possible de définir les coordonnées spatiales* : On parle de **systèmes de coordonnées**.
<br>
_Exemples de systèmes de coordonnées._
<!--si on garde ces figures ici, faire gif, avec exactement même vecteur OM et indiquer sur chaque figure M(ses 3 coordonnées)-->
#### Caractéristiques d’une base / d’un repère
##### Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
* Les vecteurs de la base ou du repère sont de **norme unité**.
avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :<br>
$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i\ne j`$
#### Règle d'orientation de l'espace.
* Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ unitaires et non colinéaires forment une base normée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace.
* Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace.
*
* d'un repère orthonormé $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace
définissent un plan $`\mathcal{P}`$. Le troisdème vecteur $`\vec{c}`$, perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$, possède **une direction** donnée par la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*.
mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$.
* Un vecteur $`(\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$ possède **une direction** la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$.
* Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : la **règle des 3 doigts de la main droite** :
