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@@ -562,8 +562,8 @@ $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$,
 !!!! Le produit mixte de trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$, noté $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})`$
 !!!! est défini par :    
 !!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{a}\land\vec{b})\cdot\vec{c}`$.   
-!!!! Il est alors facile de démontrer qu'il est invariant par permutation circulaire :
-!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{b}\,,\vec{c}\,,\vec{a})=(\vec{c}\,,\vec{a}\,,\vec{b})=`$.
+!!!! Il est alors facile de démontrer qu'il est invariant par permutation circulaire des 3 vecteurs :
+!!!! $`(\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c})=(\vec{b}\,,\vec{c}\,,\vec{a})=(\vec{c}\,,\vec{a}\,,\vec{b})`$.
 !!!! C'est donc un nombre réel, dont la valeur absolue s'identifie au volume du parallélépipéde 
 !!!! créé les trois vecteurs $`\vec{a}\,,\vec{b}\,,\vec{c}`$.
 !!!!
@@ -571,7 +571,15 @@ $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$,
 !!!! sont colinéaires car $`\overrightarrow{dl}=\overrightarrow{v}\,dt`$.
 !!!! Je peux dès lors m'assurer que ce produit mixte est nulle,    
 !!!! * soit en remarquant que trois vecteurs dont deux sont colinéaires s'inscrivent dans un même plan (2D)   
-!!!! et donc le volume (3D) construit par ces trois vecteurs est nul : $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$
+!!!! et donc le volume (3D) construit par ces trois vecteurs est nul : 
+!!!! $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$   
+!!!! * soit en utilisant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire,    
+!!!! $`\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=\Big(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\Big)`$
+!!!! $`=dt\times\Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\Big)`$
+!!!! et en remarquant que le produit vecoriel de deux vecteurs colinéaires est nul :
+!!!! $`\big\Vert\overrightarrow{v}\land\overrightarrow{v}\big\Vert=\big\Vert\overrightarrow{v}\big\Vert\cdot\big\Vert\overrightarrow{v}\big\Vert\cdot \sin 0=0`$
+!!!! $\Longrightarrow \overrightarrow{v}\land\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}`$
+!!!! $\Longrightarrow \Big(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}\Big)=0`$
 !!!! </details>
 
 et le travail de la force de Lorentz se simplifie :