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12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/40.gauss-theorem-applications/25.cylindrical-charge-distributions/10.gauss-integral/20.overview/cheatsheet.fr.md

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-title: 'Distributions cylindriques de charge'
+title: Synthèse
+media_order: 'electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-1_L1200.gif,electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2_L1200.gif,electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-3_L1200.gif,electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4_L1200.gif,electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5_L1200.gif'
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+    -
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 <!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
@@ -19,19 +30,103 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
 !!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques.
 
 
-### Distributions cylindriques de charge
+### Le cylindre infini chargé en volume
 
-en cours de réalisation
+* Les charges, caractérisées par la **densité de charge $`\dens`$** :
+   * sont distribuées dans un *cylindre infini de rayon $`R`$*, 
+   * présentent une *symétrie de révolution* autour de l'axe de révolution du cylindre.
 
-#### Symétries et invariances
+#### De quelles coordonnées dépend  $`\overrightarrow{E}`$ ?
 
+* **Choix du repère de l'espace adapté**   
+*$`\mathbf{\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{ (O, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}},  \overrightarrow{e_z})}`$**,   
+avec $`Oz`$ = axe de révolution du cylindre.
+
+* **Étude des invariances** *de la distribution de charges $`\dens`$* :
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-1_L1200.gif)
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2_L1200.gif)
+* invariance par rotation d'angle $`\Delta\varphi`$ quelconque $`\require{\cancel}\Longrightarrow \overrightarrow{E}= \overrightarrow{E}(\rho,\xcancel{\varphi}, z)`$
+* invariance par translation de longueur $`\Delta z`$ quelconque $`\require{cancel}\Longrightarrow \overrightarrow{E}= \overrightarrow{E}(\rho,\varphi, \xcancel{z})`$
+
+* *$`\mathbf{\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\rho, z) \\
+\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}\,(\rho, \varphi) 
+\end{array}\quad\right\}
+\,\Longrightarrow}`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho)}`$**
+
+#### Comment déterminer la direction de $`\overrightarrow{E}`$ ?
+
+* *Par l'* **étude des symétries** *de la distribution de charges $`\dens`$*.
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-2_L1200.gif) 
+
+<!-------------------------------------------------------
+* **$`\overrightarrow{E}`$** est un *vecteur polaire*.
+* *$`\mathbf{\mathcal{P}_1=}`$* **$`\mathbf{\mathcal{P}_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})}`$** est *plan de symétrie* pour  $`\dens`$.
+* *$`\mathbf{\mathcal{P}_2=}`$* **$`\mathbf{\mathcal{P}_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$** est *plan de symétrie* pour  $`\dens`$.
+* *$`\mathbf{\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2=\mathcal{D}(M, \overrightarrow{e_{\rho}})}`$* 
+------------------------------------>
+
+* **En tout point $`M`$** de l'espace,
+*$`\left.\begin{array}{l} \overrightarrow{E}\;\text{vecteur polaire} \\
+P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symétrie} \\
+P_2\,(M, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_{\rho}})\; \text{plan de symétrie}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+#### Comment s'exprime  $`\overrightarrow{E}`$ en tout point de l'espace ?
+
+* Synthèse de l'étude des invariances et symétries de $`\dens`$ :   
+**En tout point $`M`$** de l'espace,   
+*$`\left.\begin{array}{l}
+\text{Invariances}\Longrightarrow\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}(\rho) \\
+\text{Symétries}\Longrightarrow\overrightarrow{E}=E_{\rho}\,\overrightarrow{e_{\rho}}
+\end{array}\right\}\,\Longrightarrow`$* **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+#### Quelle surface de Gauss $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ choisir ?
+
+* La **surface de Gauss $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$** doit :
+   * être une *surface fermée*.
+   * *contenir le point $`M`$* quelconque.
+   * permettre un *calcul simple de $`\displaystyle\oiint_{\mathcal{S}_G} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dS}`$*.
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-3_L1200.gif)
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4_L1200.gif)
+* *Choix de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$* : **cylindre**,
+   * d'**axe $`Oz`$**.
+   * de **rayon $`r`$**, coordonnées du point quelconque $`M`$ considéré.
+   * de **hauteur $`h`$**.
+
+#### Que vaut le flux de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
+
+* $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ surface fermée se décompose en **$`\mathbf{\mathcal{S}_G=\mathcal{S}_{dis1}+\mathcal{S}_{lat}+\mathcal{S}_{dis2}}`$** avec :
+   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis1}}`$** : *disque supérieur* d'élément vectoriel de surface **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**,    
+   $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}`$
+   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{lat}}`$** : *surface latérale* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=+\rho\,d\varphi\,dz\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**,   
+   $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\parallel\overrightarrow{E}`$
+   * **$`\mathbf{\mathcal{S}_{dis2}}`$** : *disque inférieur* tel que **$`\mathbf{\overrightarrow{dS}=-\rho\,d\varphi\,d\rho\,\overrightarrow{e_z}}`$**,    
+   $`\Longrightarrow \overrightarrow{dS}\perp\overrightarrow{E}`$
+
+* **$`\mathbf{\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**   
+$`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}+\iint_{\mathcal{S}_{lat}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;E\cdot dS}`$
+$`\,+\iint_{\mathcal{S}_{dis1}}\underbrace{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}_{=\;0}`$   
+$`\displaystyle\quad=0 + \iint_{\mathcal{S}_{lat}} E\cdot dS + 0`$   
+$`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{lat}} \underbrace{E_{\rho}(\rho)}_{=\; E} \cdot \rho\,d\varphi\,dz`$   
+$`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho\,d\varphi\,dz`$   
+**$`\mathbf{\quad= 2\pi \rho\, E}`$**
+
+#### Combien de domaines de l'espace considérer ?
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4-v2_L1200.gif)
+
+#### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ à l'extérieur
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5-v2_L1200.gif)
+
+#### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ à l'intérieur
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-6-v2_L1200.gif)
+
+
+
 
-![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5_L1200.gif)