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...@@ -429,16 +429,16 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha + ...@@ -429,16 +429,16 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha +
* **toute fonction périodique $`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ de fréquence $`\nu`$ peut s'exprimer comme une *somme discrète* * **toute fonction périodique $`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ de fréquence $`\nu`$ peut s'exprimer comme une *somme discrète*
*de fonctions sinusoïdales* de fréquences $`n\nu`$ multiples de $`\nu`$, et de différentes phases à l'origine. *de fonctions sinusoïdales* de fréquences $`n\nu`$ multiples de $`\nu`$, et de différentes phases à l'origine.
* en notation réelle : * en notation réelle :
$`\displaystyle f(t) = f_0 + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\cos\,(2\pi\,n\nu\,t\,+\,\phi_n)`$ $`\displaystyle f(t) = f_0 + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\cos\,(2\pi\,n\nu\,t\,+\,\varphi_n)`$
<br> <br>
avec $`F(\nu)`$ l'amplitude de la composante de fréquence $`n\nu`$. avec $`F(\nu)`$ l'amplitude de la composante de fréquence $`n\nu`$.
* en notation complexe : * en notation complexe :
$`\displaystyle f(t) = f_0 + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\exp\,(i\,2\pi n\nu t+\phi_n)`$ $`\displaystyle f(t) = f_0 + \sum_{n=1}^{\infty} F_n\,\exp\,(i\,2\pi n\nu t+\varphi_n)`$
* **$`f_0`$ est la composante continue. * *$`f_0`$* est la **composante continue**.
* la fonction périodique de *plus basse fréquence*, $`\nu`$, est appelée **composante fondamentale** * la fonction périodique de *plus basse fréquence*, $`\nu`$, est appelée **composante fondamentale**
* les fonctions de *fréquences $`n\nu`$ avec $`n >1`$* sont appelées **composantes harmoniques**. * les fonctions de *fréquences $`n\nu`$ avec $`n >1`$* sont appelées **composantes harmoniques**.
* **$`F_n`$** est l'*amplitude de la composante de fréquence $`n\nu`$*. * **$`F_n`$** est l'*amplitude de la composante de fréquence $`n\nu`$*.
...@@ -447,10 +447,10 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha + ...@@ -447,10 +447,10 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha +
* **toute fonction non périodique$`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ de fréquence $`\nu`$ peut s'exprimer comme une * **toute fonction non périodique$`^{\;(1)}`$** $`f(t)`$ de fréquence $`\nu`$ peut s'exprimer comme une
*somme intégrale d'ondes sinusoïdales* de différentes fréquences et phases à l'origine. *somme intégrale d'ondes sinusoïdales* de différentes fréquences et phases à l'origine.
* en notation complexe : * en notation complexe :
$`\begin{align}\displaystyle f(t) &= f_0 + \int_{-\infty}^{+\infty} F(\nu)\,\exp\big(i\,2\pi\nu\,t\,+\,\phi(\nu)\big) \,d\nu \\ $`\begin{align}\displaystyle f(t) &= f_0 + \int_{-\infty}^{+\infty} F(\nu)\,\exp\big(i\,2\pi\nu\,t\,+\,\varphi(\nu)\big) \,d\nu \\
\\ \\
&= f_0 + \int_{-\infty}^{+\infty} \underline{F(\nu)}\,\exp\big(i\,2\pi\nu\,t)\,d\nu \\ &= f_0 + \int_{-\infty}^{+\infty} \underline{F(\nu)}\,\exp\big(i\,2\pi\nu\,t)\,d\nu \\
&\quad\quad\quad\quad\quad\text{ avec }\underline{F(\nu)} = F(\nu)\,e^{\,i\,2\pi\nu t} &\quad\quad\quad\quad\quad\text{ avec }\underline{F(\nu)} = F(\nu)\,e^{\,i\varphi(\nu)}
\end{align}`$ \end{align}`$
* * **$`\underline{F(\nu)}`$** est l'*amplitude complexe* de la composante de fréquence $`\nu`$. * * **$`\underline{F(\nu)}`$** est l'*amplitude complexe* de la composante de fréquence $`\nu`$.
...@@ -464,9 +464,11 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha + ...@@ -464,9 +464,11 @@ $`\forall \alpha \in \mathbb{R}\;,\,`$ **$`\large{exp{\,\alpha} = cos \,\alpha +
* *fréquences* des composantes d'amplitude non nulle. * *fréquences* des composantes d'amplitude non nulle.
* *amplitudes* de ces composantes. * *amplitudes* de ces composantes.
* La **représentation** d'un spectre est données dans un *graphe $`F(\nu)`$*. * La **représentation** d'un spectre est données dans deux graphes :
* Le graphe en *amplitude $`F(\nu)`$*.
* Le graphe en *phase à l'origine $`\varphi(\nu)`$.
<br> <br>
_(figure à faire, un exemple de $`f(t)`$ et sa décomposition spectrale $`F(\nu)`$)_ _(figures à faire, un exemple de $`f(t)`$ et sa décomposition spectrale en $`F(\nu)`$) et $`\varphi(\nu)`$._
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