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@@ -313,19 +313,6 @@ $`\Longrightarrow`$ **différentes distributions de charge sont étudiées** *da
 
 ##### Calcul de $`\overrightarrow{E}`$ avec une intégrale définie
 
-<!------------
-* Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
-   * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
-   * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
-
-*  L'*objectif final* est de calculer le champ électrique **$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ en tout point $`\mathbf{M=(\rho_M\,\varphi_M\,z_M)}`$** de l'espace.
-*  **2 cas sont à prendre en compte**, selon que le point *$`M`$ est situé à l'intérieur* $`(\rho_M\le R)`$ ou *à l'extérieur* $`(\rho_M\gt R)`$ du cylindre chargé de rayon $`R`$.
-
-
-**Pour tout point $`\mathbf{M=M(\rho_M\,\varphi_M\, z_M)}`$** de l'espace, la synthèse des résultats donne :   
-(ne pas oublier le facteur $`1\,/\,\epsilon_0`$)
------------>
-
 <br>
 **$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M = 0}`$** :    
 L'étude des symétries nous a permis d'affirmer précédemment que :    
@@ -335,8 +322,8 @@ L'étude des symétries nous a permis d'affirmer précédemment que :
 <br>
 **$`\large\text{Pour  }\mathbf{0\lt \rho_M\le R}`$** :    
 donc à l'*intérieur du cylindre chargé* mais hors axe de révolution :   
-<br>
-**$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**     
+
+* **$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**     
 <br>
 **$`\displaystyle\mathbf{\hspace{2.6cm}=\int_{\rho=0}^{\rho_M}\dfrac{\rho\,\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,d\rho}`$**   
 <br>
@@ -344,9 +331,9 @@ $`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\int_{\rho=0}^{\rh
 <br>
 $`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,\bigg[ \dfrac{\rho^2}{2}\bigg]_0^{\rho_M}`$   
 <br>
-$`\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{\rho_M^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$   
-<br>
-*$`{\rho_M}`$ étant strictement supérieur à 0*, nous obtenons *au final* :   
+$`\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{\rho_M^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$
+
+* *$`{\rho_M}`$ étant strictement supérieur à 0*, nous obtenons *au final* :   
 <br>
 $`\left.\begin{array}{l}
 \overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
@@ -359,8 +346,8 @@ E_{\rho}(\rho_M)=\dfrac{\rho_M\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}
 <br>
 **$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\gt R}`$** :    
 donc à l'*extérieur du cylindre chargé* :   
-<br>
-**$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**     
+
+* **$`\displaystyle\mathbf{\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)=\int_{\rho=0}^{\rho_M}d\left(\rho\,E_{\rho}\right)}`$**     
 <br>
 **$`\displaystyle\mathbf{\hspace{2.6cm}=\int_{\rho=0}^{\rho_M}\dfrac{\rho\,\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,d\rho}`$**   
 <br>
@@ -369,9 +356,9 @@ $`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\int_{\rho=0}^{R}\
 <br>
 $`\displaystyle\hspace{2.6cm}=\dfrac{\dens_0^{3D}}{\epsilon_0}\,\bigg[ \dfrac{\rho^2}{2} \bigg]_0^{R}`$   
 <br>
-$`\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$   
-<br>
-*$`{\rho_M}`$ étant strictement supérieur à 0*, nous obtenons *au final* :   
+$`\rho_M\,E_{\rho}(\rho_M)\;=\dfrac{R^2\,\dens_0^{3D}}{2\epsilon_0}`$
+
+* *$`{\rho_M}`$ étant strictement supérieur à 0*, nous obtenons *au final* :   
 <br>
 $`\left.\begin{array}{l}
 \overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
@@ -402,68 +389,75 @@ La **détermination des constantes** d'intégration peut se faire à la fin, et
 <br>
 **$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho \le 0}`$** :    
    
-*$`div\,\overrightarrow{E} =`$* **$`\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\, E_{\rho})}{d\rho}=`$**
-*$`\dfrac{\dens^{3D}(\rho)}{\epsilon_0} =`$* **$`\,\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}`$**
-
-$`\Longrightarrow\quad\dfrac{d(\rho\, E_{rho})}{d\rho}=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho `$
-
+* *$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E} =}`$* **$`\boldsymbol{\mathbf{\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\, E_{\rho})}{d\rho}}}`$**
+*$`\boldsymbol{\mathbf{\,=\dfrac{\dens^{3D}(\rho)}{\epsilon_0}}}`$* **$`\mathbf{\,=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}}`$**   
+<br>
+$`\Longrightarrow\quad\dfrac{d(\rho\, E_{rho})}{d\rho}=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho `$    
+<br>
 $`\Longrightarrow\quad d(\rho\, E_{rho})=\dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho \;d\rho`$
 
-L'intégration indéfinie donne alors :
-
+* L'*intégration indéfinie* donne alors :   
+<br>
 $`\displaystyle\begin{align}\boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{\rho\, E_{\rho}}}}&= \int d(\rho\, E_{\rho})\\
 \\
 & = \int \dfrac{\dens^{3D}_0}{\epsilon_0}\;\rho\, d\rho \\
 \\
 & \boldsymbol{\mathbf{ \color{brown}{= \dfrac{\dens^{3D}_0\,\rho^2}{2\,\epsilon_0} + Cste\,1}}}
 \quad\text{(éq.1)}\end{align}`$   
-   
+<br>
    où *$`\mathbf{Cste\,1}`$* est une *première constante d'intégration*.
 
 <br>
-**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M \gt 0}`$** :    
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M \gt 0}`$** :
    
 * *$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E} =}`$* **$`\boldsymbol{\mathbf{\,\dfrac{1}{\rho}\;\dfrac{d(\rho\, E_{\rho})}{d\rho}}}`$**
 *$`\boldsymbol{\mathbf{\,=\dfrac{\dens^{3D}(\rho)}{\epsilon_0}= \dfrac{0}{\epsilon_0}}}`$* **$`\,=\mathbf{0}`$**   
-   
+<br>   
 $`\Longrightarrow\quad \dfrac{d(\rho\,E_{\rho})}{d\rho}=0`$
 
-*   L'intégrale indéfinie $`\displaystyle \int d(\rho\,E_{\rho})) = \int 0 \times d\rho=Cste\,2`$,   
-   
-ou (équivalent),   
-   
-le fait que $`\dfrac{d(\rho\,E_{\rho})}{d\rho}=0`$ implique que $`\rho\,E_{\rho})}`$ ne dépend
-pas de $`\rho`$ et est donc égale à une cosntante $`=Cste\,2`$   
-   
+* L'*intégrale indéfinie* $`\displaystyle \int d(\rho\,E_{\rho})) = \int 0 \times d\rho=Cste\,2`$,   
+<br>   
+*ou (équivalent)*,   
+<br>   
+le fait que $`\dfrac{d(\rho\,E_{\rho})}{d\rho}=0`$ implique que 
+*$`\rho\,E_{\rho})`$ ne dépend pas de $`\rho`$* et est donc égale à une cosntante $`Cste\,2`$   
+<br>
 donne :   
-   
-**$`\boldsymbol{\mathbf{\rho\, E_{rho}=Cste\,2}}\quad`$** (éq.2)}
+<br>  
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\rho\, E_{\rho}=\dfrac{Cste\,2}{\epsilon_0}}\quad`$** (éq.2)}
 
-<br>
-* Il reste à **déterminer les constantes**.   
+
+##### Détermination des constantes d'intégration
    
-L'étude des *symétries** de la distribution de charge a conduit à :   
-    
+* L'étude des **symétries** de la distribution de charge a conduit à :   
+<br>
 $`\left.\begin{align}
 &\overrightarrow{E}(\rho)=E_{\rho}\overrightarrow{e_{\rho}}\\
 &\overrightarrow{E}(\rho=0)=\overrightarrow{0}
 \end{align}
-\right\}\Longrightarrow \boldsymbol{\mathbf{\color{brown}{E_{\rho = 0}=0}}}`$
-
-$`\rho=0`$ appartenant au domaine de l'espace où $`\mathbf{\rho \le 0}`$ 
-dans lequel l'équation (éq.1) est vérifiée, la *valeur de la constante $`\mathbf{Const\,1}`$*
-peut être déterminée :
+\right\}\Longrightarrow \boldsymbol{\mathbf{\color{brown}{E_{\rho}(\rho = 0)=0}}}`$
 
+* *$`\boldsymbol{\rho=0}`$* appartenant au domaine de l'espace où $`\mathbf{\rho \le 0}`$ 
+dans lequel l'équation *(éq.1) est vérifiée*, la valeur de la constante $`\mathbf{Const\,1}`$
+peut être déterminée :   
+<br>
 $`\left.\begin{align}
 & \dfrac{\dens^{3D}_0\,\rho^2}{2\,\epsilon_0} + Cste\,1\\
 & \rho = 0
 \end{align}
-\right\}\Longrightarrow 0+Cste\,1=0 \Longrightarrow \mathbf{\color{blue}{Cste\,1=0}}`$
-   
-Enfin, par *continuité* de $`\overrightarrow{E}=E_r\,\overrightarrow{e_r}`$ et donc 
-continuité de $`E_r`$ dans tout l'espace, et donc en particulier *à la frontière $`\rho=R`$* :   
+\right\}\Longrightarrow \mathbf{\color{blue}{Cste\,1=0}}`$
    
-
+* Enfin, par *continuité* de $`\overrightarrow{E}=E_r\,\overrightarrow{e_r}`$ et donc 
+continuité de $`E_r`$ dans tout l'espace, et donc en particulier *à la frontière $`\rho=R`$*, 
+la valeur de la constante $`\mathbf{Const\,2}`$
+peut être déterminée :   
+<br>
+$`\displaystyle\lim_{\rho\rightarrow R\\ \rho\lt R} E_{\rho}=`$
+*$`\dfrac{\dens^{3D}_0\,R}{2\,\epsilon_0}`$*
+$`\,=\displaystyle\lim_{\rho\rightarrow R\\ \rho\gt R} E_{\rho}`$ 
+*$`\,=\dfrac{Cste\,2}{\epsilon_0\,R}`$*   
+<br>
+$`\Longrightarrow \boldsymbol{\mathbf{\color{blue}{Cste\,2=\dfrac{\dens^{3D}_0\,R^2}{2\,\epsilon_0}}}}`$